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hallo ich bin neu hier und habe eine frage und zwar:
Seien n+1 paarweise verschiedene Stützstellen [mm] x_{i} \in \IR [/mm] , i=0,1,...,N gegeben.Weiter sei [mm] f_{i},f_{i}' \in \IR [/mm] für i=0,1,...,N gegeben.
Bestimme die für den Ansatz
[mm] p(x)=\summe_{i=0}^{N}(f_{i}g_{i}(x)+f_{i}'h_{i}(x))
[/mm]
geeigneten Polynome (2N+1)-ten Grades [mm] g_{i},h_{i}, [/mm] so dass gilt
[mm] p(x_{i}) [/mm] = [mm] f_{i} [/mm] und [mm] p'(x_{i}) [/mm] = [mm] f_{i}'.
[/mm]
Hinweis: Benutze für beide Polynome [mm] g_{i}, h_{i} [/mm] den Ansatz
[mm] L_{i}^2(x) (a_{i}x [/mm] + [mm] b_{i})
[/mm]
mit den LAGRANGE-Polynomen [mm] L_{i}(x) [/mm] = [mm] \produkt_{j=0, j\not=i}^{N} \bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.
[/mm]
Wenn ich den Ansatz in meine Formel einsetze:
[mm] \summe_{i=0}^{N}(f_{i}(L_{i}^2(x)(a_{i}x+b_{i})+f_{i}L_{i}^2(c_{i}x+d_{i}))
[/mm]
und an einer Stützstelle:
[mm] f_{i}(a_{i}x+b_{i})+f_{i}'(c_{i}x+d_{i})
[/mm]
aber ich habe leider keine Ahnung was ich damit anfangen soll.ich hoffe mir kann jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 04.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum setzt du nicht die angegebenen fkt einfach ein. was folgt daraus für [mm] a_ix_i+b_i [/mm] und entsprechend für [mm] c_ix_i+d_i [/mm] betrachte auch [mm] L_i(x_k)
[/mm]
Gruss leduart
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aber habe ich die fkt nicht schon eingesetzt?
es wäre sinnvoll wenn [mm] a_{i}x+b_{i}=1 [/mm] und [mm] c_{i}x+d_{i}=0 [/mm] oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Do 04.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> aber habe ich die fkt nicht schon eingesetzt?
> es wäre sinnvoll wenn [mm] $a_{i}x+b_{i}=1$ [/mm] und [mm] $c_{i}x+d_{i}=0$
[/mm]
dann würde ja die Konstanten [mm] a_i [/mm] usw von x abhängen? und p(x) = [mm]\summe_{i=1}^{n} f_i*L_I^2 [/mm]
aber in die richtige Richtung denkst du wahrscheinlich .
du willst doch [mm] p(x_i) [/mm] haben, setz wirklich ein, auch in die lagrangepol. und schreib genau [mm] p(x_i) [/mm] und [mm] p'(x_i) [/mm] auf mit der expiziten Darst. der [mm] L_i [/mm] (ausgewertet für [mm] x=x_i)
[/mm]
Gruss leduart
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Ich schein es nicht zu verstehen...
wenn ich [mm] x_{i} [/mm] einsetze erhalte ich doch
[mm] p(x_{i})=f_{i}1(a_{i}x_{i}+b_{i})+f_{i}'1(c_{i}x_{i}+d_{i})
[/mm]
und wenn ich die ganze funktion ableite:
[mm] p(x_{i})'=f_{i}(2*1*L_{i}'(x_{i})(a_{i}x_{i}+b_{i})+1a_{i})+f_{i}'(2*1*L_{i}'(x_{i})(c_{i}x_{i}+d_{i})+1c_{i})
[/mm]
ist das richtig?und viel wichtiger:hilft mir das weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Do 04.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
also musst du bei [mm] p(x_i) [/mm] den Faktor bei f 01 und den bei f' =0 setzen, bei [mm] p'(x_i) [/mm] den aktor bei f 0 und den bei f' 1 stzen.
das gibt 4 Gleichungen für die 4 zu bestimmenden Größe [mm] a_i [/mm] bis [mm] d_i
[/mm]
das ist alles
gruss leduart.
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