Lagrangegleichungen 2.Art < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo!
Ich lese mir gerade die Herleitung zu den Lagrange Gleichungen 2.Art im Buch "Mechanik" von Fließbach durch. Da gibt es eine Stelle wo ich nicht weiter komme:
Es ist
[mm] x=(x_{1},...,x_{3N}) [/mm] kartesische Koordinaten von N Teilchen
[mm] q=(q_{1},...,q_{f}) [/mm] verallgemeinerte Koordinaten
Es git d/dt [mm] x_n(q,t) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{f} \bruch{\partial x_n(q,t)}{\partial q_{k}} [/mm] * d/dt [mm] q_{k} [/mm] + [mm] \bruch{\partial x_n(q,t)}{\partial t} [/mm]
Zugegeben es ist eher ein technisches Problem...aber mir ist nicht klar warum gerade das die Zeitableitung von [mm] x_n(q,t) [/mm] sein soll. Die totale Ableitung nach der Zeit ist ja eigentlich eine einzeilige Matrix mit k Einträgen. Warum steht da eine Summe?? Das verstehe ich nicht??
Gruß und Vielen Dank im Voraus!
Wer das übr. genauer nachlesen will:
Fließbach Mechanik S.68 Teil II Lagrangeformalismus Formel 9.15
(Unterkapitel "Lagrangefunktion") 6.Auflage
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Di 01.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was meinst du mit ner einzeiligen Matrix hier, die Ableitung nach der Zeiteiner komponente [mm] x_n [/mm] ist doch kein Vektor=einz. M? Hier steht einfach die Kettenregel. das q in x_nsteht doch fuer [mm] (q1,..q_f) [/mm] die Ableitung ist ne Zahl kein Vektor.
Gruss leduart
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Ja aber wie kommen die Summen zustande???
Es wird doch nur nach der Zeit abgeleitet???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mi 02.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
aber du hast doch x(q1(t),q2(t),...qf(t),t) wie wuerdest du das ableiten?
Gruss leduart
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Hi.
Also wenn die totale Ableitung gefragt ist, würde ich so vorgehen:
[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)
Das Resultat ist ein Vektor weil die totale Ableitung einer
Funktion, die k+1 Elemente schluckt und eine Zahl ausspuckt nunmal ein Vektor ist. Vielleicht bin ich auch einfach nur von der Notation verwirrt.
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Do 03.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi.
> Also wenn die totale Ableitung gefragt ist, würde ich so
> vorgehen:
> [f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)
> Das Resultat ist ein Vektor weil die totale Ableitung
> einer
> Funktion, die k+1 Elemente schluckt und eine Zahl
> ausspuckt nunmal ein Vektor ist.
Das ist zwar richtig, aber die Zeitableitung ist nicht die totale Ableitung dieser Funktion. Da alle (k+1) Argumente von der Zeit explizit abhängen, musst du die Kettenregel anwenden.
Wie du selbst sehr richtig geschrieben hast, ist die Zeitableitung das Skalarprodukt der totalen Ableitung $f'(g(x))$ und der inneren Ableitung des Argumentvektors nach der Zeit, nämlich $g'(x)$.
Betrachte den einfachsten Fall eines eindimensionalen Systems: sei x eine Funktion zweier Variablen q und t, und in das erste Argument wird die Funktion q(t) eingesetzt. Nach Kettenregel ist:
[mm] \bruch{d}{dt} x(q(t),t) = x_q(q(t),t) * \bruch{d}{dt} q(t) + x_t(q(t),t) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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