Lagrange Multiplikatormethode < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Fr 06.03.2009 | | Autor: | marder |
| Aufgabe | Beispiel: Es werden Extrema der Funktion f(x,y): [mm] x*y^2 [/mm] unter der Nebenbedinungung (Ellipse) g(x,y): [mm] \bruch{x^2}{3}+\bruch{y^2}{4}=1
[/mm]
gesucht. (Mit Hilfe der Lagrange Multiplikatormethode) |
Hallo, ich habe eine wichtige Frage zur Lagrangen Multiplikatormethode, als Beispiel habe ich die oben genannte Aufgabe herausgesucht. Das prinzipielle Vorgehen ist klar:
1. grad von f und g bilden
2. Gleichungen aufstellen, diese sind für die oben genannte Aufgabe:
(1) [mm] \bruch{x^2}{3}+\bruch{y^2}{4}-1=0
[/mm]
(2) [mm] y^2+ \lambda*\bruch{2}{3}*x [/mm] =0
(3) 2*x*y + [mm] \lambda*\bruch{1}{2}*y [/mm] =0
Jetzt meine Frage, wie gehe ich hier (allgemein) richtig vor, um ALLE kritischen Punkte zu erfassen? Ich kann natürlich jetzt anfangen wild herumzurechnen in den Gleichungen, allerding kriege ich das fast nie hin ohne Extremstellen zu vergessen!
Ich suche ein möglichst universelles vorgehen und bin für alle Ideen dankbar.
Ich hatte versucht mir eine strategie über den grad der polynome herzuleiten (x ist grad 2, y grad 1) aber das funktioniert nicht so recht...
vielen dank für die hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Fr 06.03.2009 | | Autor: | SEcki |
> Jetzt meine Frage, wie gehe ich hier (allgemein) richtig
> vor, um ALLE kritischen Punkte zu erfassen? Ich kann
> natürlich jetzt anfangen wild herumzurechnen in den
> Gleichungen, allerding kriege ich das fast nie hin ohne
> Extremstellen zu vergessen!
> Ich suche ein möglichst universelles vorgehen und bin für
> alle Ideen dankbar.
Ganz Allgemein wird das einfach nicht gehen - im Zweifel muss man es mit numerischen Methoden lösen! Eine gute Strategie ist es immer, eine der Variablen durch die andere zu ersetzen und damit ein einer Gleichung nur von einer Variable abhängen zu lassen. Dann von den Lösungen Werte für die andere finden und weiterschauen.
Falls jemand noch andere Strategien kennt - her damit!
SEcki
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> Jetzt meine Frage, wie gehe ich hier (allgemein) richtig
> vor, um ALLE kritischen Punkte zu erfassen? Ich kann
> natürlich jetzt anfangen wild herumzurechnen
Hallo,
wie bereits erwähnt gibt es keine allgemeine Stategie, die Du 1:1 jederzeit umsetzen kannst, denn so vielgestaltig wie Funktionen sein können, können auch die hier entstehenden Gleichungssysteme sein.
Nun kannst Du aber davon ausgehen, daß Klausuraufgaben mit vertretbarem Aufwand von Hand zu lösen sind, und ich denke, um diese Fälle geht es Dir vorrangig.
Das Geheimnis ist, daß man eben nicht wild herumrechnet!
Bei jedem Schritt muß man sich fragen: darf ich das? Nullstellen gehen gern verloren, wenn dividiert wird, sagen wir durch 5z-10. Wenn Du hier nicht notierst "für [mm] z\not=2", [/mm] dann bist Du auf dem besten Wege, Lösungen zu verlieren. Den Fall "für z=2" müßtest du später gesondert untersuchen.
Lösungen verlieren tut man also gern beim Dividieren, weiter, wenn bei der Lösung von quadratischen Gleichungen nur die pos. Lösung berücksichtigt wird.
Wenn Du diese beiden Fehler nicht machst, hast Du das Risiko des Nullstellenverlustes bei den landläufigen Klausuraufgaben schon deutlich reduziert.
Auf diese Weise kann es natürlich auch Fallunterscheidungen innerhalb der Fallunterscheidungen geben, und es ziemlich sinnvoll, sich irgendwo zu notieren, was man alles untersuchen muß: In unfangreichen Fällen kannst Du Dir einen Baum machen und dann abhaken, in übersichtlichen Fällen genügt eine systematische Numerierung der zu untersuchenden Fälle.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 So 08.03.2009 | | Autor: | marder |
ok vielen dank für die ausführlichen antworten, werde das jetzt so berücksichtigen,
eine weitere frage hätte ich dann allerdings noch,...
wie kann ich, wenn ich die kritischen punkte gefunden habe unterscheiden ob es sich um minima,maxima oder um sattelpunkte handelt, und ob diese lokal oder global sind?
danke für die antworten
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> eine weitere frage hätte ich dann allerdings noch,...
> wie kann ich, wenn ich die kritischen punkte gefunden habe
> unterscheiden ob es sich um minima,maxima oder um
> sattelpunkte handelt, und ob diese lokal oder global sind?
Hallo,
das kann, wenn man Randextrema bestimmt, ziemlich schwierig sein.
es gibt allerdings einen sehr häufigen Fall in Klausuren etc:
wenn das Gebiet, über dem man die Funktion mit betrachtet, ein abgeschlossener und beschränkter Bereich des [mm] \IR^n [/mm] ist, und die Funktion stetig, dann weiß man schonmal, daß glob. Minimum und Maximum angenommen werden.
man schaut dann einfach, an welchen Stellen der Funktionswert am größten bzw. am kleinsten ist.
Dann wird mancherorts noch mit der geränderten Hessematrix gearbeitet, welche ein hinreichendes Kriterium liefert. Ich kann 's mir leider nie richtig merken und muß immer nachschlagen, was ich jetzt Dir überlassen.
Gruß v. Angela
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