Lagrange Multiplikator < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
| |
|
Hallo ONeill,
> Bestimmen Sie das Volumen des größten Quaders mit
> achsenparallelen Kanten innerhalb des Ellipsoids
> [mm]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1[/mm].
> Verwenden Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren.
> Hallo zusammen!
>
> Die obige Aufgabe ist hier gelöst (Seite 6):
>
> ![[]](/images/popup.gif) http://www2009.ph.tum.de/studium/betrieb/ferienkurse/2008w/ana2/divl.pdf
> Die Lösung verstehe ich nicht so ganz. Also zunächst die
> Hilfsfunktion aufgestellt, alles klar:
> [mm]L(x,y,z,\lambda)=8xyz+\lambda \left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)[/mm]
>
> Dann partiell ableiten:
> [mm]L_x=\frac{\partial L}{\partial x}=8yz+\lambda \frac{2x}{a^2}=0[/mm]
>
> [mm]L_y=\frac{\partial L}{\partial y}=8xz+\lambda \frac{2y}{b^2}=0[/mm]
>
> [mm]L_z=\frac{\partial L}{\partial z}=8xy+\lambda \frac{2z}{c^2}=0[/mm]
>
> [mm]L_{\lambda}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}= \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0[/mm]
>
> Soweit auch noch alles klar. Dann steht in der
> Musterlösung Gleichung eins mit [mm]\frac{x}{\lambda}[/mm],
> Gleichung zwei mit [mm]\frac{y}{\lambda}[/mm] und Gleichung drei mit
> [mm]\frac{z}{\lambda}[/mm]. Ok gesagt getan und dann sehe ich auch
> sofort ein, dass
> [mm]\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}[/mm]
> aber warum soll das gleich [mm]\frac{-4xyz}{\lambda}[/mm] sein
> soll. Das ist zunächst mal das erste Problem, wenn das
> geklärt ist frage ich weiter 
Wenn Du die erste Gleichung mit [mm]\bruch{x}{\lambda}[/mm] multiplizierst,
steht zu nächst da:
[mm]8yz*\bruch{x}{\lambda}+\frac{2x^{2}}{a^2}=0[/mm]
Division durch 2 liefert:
[mm]4yz*\bruch{x}{\lambda}+\frac{x^{2}}{a^2}=0[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]\frac{x^{2}}{a^2}=-4yz*\bruch{x}{\lambda}=\bruch{-4xyz}{\lambda}[/mm]
>
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
> Gruß Christian
Gruss
MathePower
|
|
|
|
