Lagrange I und Rechnereien < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:53 Sa 26.05.2012 | | Autor: | faraday |
| Aufgabe | Ein Teilchen der Masse m bewegt sich in einer Fläche, die durch folgende Gleichung beschrieben wird
z=cos(x).
Die Fläche übt auf das Teilchen Kraft aus, damit es sie nicht verlässt.
a) Geben Sie die Lagrangefunktion für dieses Teilchen an, ohne die Zwangskraft zu berücksichtigen. Bnutzen Sie kartesische Korrdinaten x, y, z.
b) Geben Sie unter Verwendung von Lagrangemultiplikatoren die Zwangsbedingungen und die Bewegungsgleichungen an.
c) Die Bewegungsgleichung für y(t) sollte leicht zu lösen sein, lösen Sie sie.
d) Benutzen Sie die Zwangsbedingung und die Lösung für y(t), die Sie oben berechnet haben, um die Lagrangefunktion zu vereinfachen, sodass sie nur noch von x und [mm] \dot{x} [/mm] abhängt. Da die Lagrangefunktion nicht explizit von t abhängt, ist die Energie erhalten. Nennen Sie die Energie E und leiten Sie einen Ausdruck für [mm] \dot{x} [/mm] als Funktion von x her. |
Aufgabenteil a) ist trivial, bis auf eine Kleinigkeit: In der Aufgabe ist von keinem Gravitationsfeld die Rede. Soll ich es dennoch betrachten (Fallbeschleunigung in z-Richtung)? Sprich: V=mgz?
b) ist offensicht einfach Lagrange I Gleichungen aufstellen, krieg ich hin.
c+d) Ja...ich komme unter der Prämisse des vorhandenen Gravitationsfeldes auf folgende allgemeine Lösung für [mm] y(t)=v_y \cdot [/mm] t [mm] +y_0
[/mm]
Und dann komme ich insgesamt auf folgenden Ausdruck (L=T-V mit eingesetzten Zwangsbedingungen und Lösung für y(t)):
[mm] L(x,\dot x)=\frac{m}{2} {\dot x}^2+\frac{m}{2} {\dot x}^2 sin^2(x)+\frac{m}{2} v_y^2-mgcos(x)
[/mm]
ist für mich zwar keine Vereinfachung aber meinetwegen. Aber wie löse ich das Ganze jetzt nach [mm] \dot{x} [/mm] auf?! Ist das Ganze überhaupt richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 30.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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