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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lagrange Ableitung
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Lagrange Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Do 07.06.2012
Autor: doom0852

Aufgabe
Wie kriege ich über die Transformationsformeln:
[mm] x_1=q_1 x_2=q_1+l*sin(q_2) y_2= lcosq_2 [/mm]

die Ableitungen [mm] d(x_1)/dt d(x_2)/dt d(y_2)/dt [/mm]  ?

damit ich die kinetische Energie umschreiben kann.

also das System ist konservativ und holonom-skleronom also nur implizit zeitabhängig. Wie leite ich nun nach der Zeit ab. Ein Buch,dessen Lösung lautet:
[mm] 1/2(m_1 +m_2)(dq_1/dt)^2 [/mm] + [mm] 1/2*m_2(l^2*(dq_2/dt)^2 [/mm] + [mm] 2*l*(dq_1/dt)^2*(dq_2/dt)^2*cos(q_2)) [/mm]

wobei die Notation dq/dt jeweils q mit einem Punkt oben drauf bedeutet. (zur besseren Vorstellung)


Alle fragen stehen in der Aufgabenstellung. Danke!

Ich verstehe die Lösung des Buches nicht. Meiner Meinung nach fehlt in der mittleren Klammer ein [mm] (dq_2/dt)^2*cos^2((dq_2/dt) [/mm]

        
Bezug
Lagrange Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Do 07.06.2012
Autor: MathePower

Hallo doom0852,

> Wie kriege ich über die Transformationsformeln:
>  [mm]x_1=q_1 x_2=q_1+l*sin(q_2) y_2= lcosq_2[/mm]
>  

Gemeint ist doch wohl:

[mm]x_1=q_1, \ x_2=q_1+l*sin(q_2), \ y_2= lcosq_2[/mm]

,wobei [mm]q_{1}=q_{1}\left(t\right), \ q_{2}=q_{2}\left(t\right)[/mm]

Weiter sind wohl die Vektoren

[mm]P_{1}=\pmat{x_{1} \\ 0}, \ P_{2}=\pmat{x_{2} \\ y_{2}}[/mm]

gegeben.

Berechne nun den Betrag des Geschwindigkeitsvektors
in [mm]P_{1}[/mm] und [mm]P_{2}[/mm].

Damit kannst Du dann die kinetische Energie berechnen.


> die Ableitungen [mm]d(x_1)/dt d(x_2)/dt d(y_2)/dt[/mm]  ?
>  


Die Ableitung von [mm]x_{1}[/mm] nach t sollte kein Problem darstellen.

Bei den Ableitungen von [mm]x_{2}[/mm] bzw. [mm]y_{2}[/mm] nach t
ist die Kettenregel anzuwenden.


> damit ich die kinetische Energie umschreiben kann.
>  
> also das System ist konservativ und holonom-skleronom also
> nur implizit zeitabhängig. Wie leite ich nun nach der Zeit
> ab. Ein Buch,dessen Lösung lautet:
>  [mm]1/2(m_1 +m_2)(dq_1/dt)^2[/mm] + [mm]1/2*m_2(l^2*(dq_2/dt)^2[/mm] +
> [mm]2*l*(dq_1/dt)^2*(dq_2/dt)^2*cos(q_2))[/mm]
>  
> wobei die Notation dq/dt jeweils q mit einem Punkt oben
> drauf bedeutet. (zur besseren Vorstellung)
>  
> Alle fragen stehen in der Aufgabenstellung. Danke!
>  
> Ich verstehe die Lösung des Buches nicht. Meiner Meinung
> nach fehlt in der mittleren Klammer ein
> [mm](dq_2/dt)^2*cos^2((dq_2/dt)[/mm]


Die in dem Buch angegebene Lösung ist korrekt.


Gruss
MathePower

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