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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Vampiry |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x,y,z)=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}.
[/mm]
a) Suchen Sie mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren die Extrema von f unter der Nebenbedingung [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
[/mm]
b) Geben Sie eine geometrische Interpretation. |
Nochmal hallo.
Ich bekomme für die Extrema und [mm] \lambda [/mm] andere Werte raus, als in der Lösung meines Profs und finde den Fehler nicht.
Das habe ich gerechnet:
[mm] F=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}+\lambda [/mm] * [mm] (x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial F_{x}}{\partial x}=2(x-1)+2*\lambda*x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial F_{y}}{\partial y}=2(y-2)+2*\lambda*y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial F_{z}}{\partial z}=2(z-2)+2*\lambda*z
[/mm]
[mm] \bruch{\partial F_{\lambda}}{\partial \lambda}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1
[/mm]
Die ersten 3 Ableitungen nullsetzen und nach einer Variable umstellen:
[mm] x=1-\lambda
[/mm]
[mm] y=2-\lambda
[/mm]
[mm] z=2-\lambda
[/mm]
Dass habe ich in die 4. Gleichung eingesetzt und auch nullgesetzt
[mm] (1-\lambda )^{2}+(2-\lambda )^{2}+(2-\lambda )^{2}-1=0
[/mm]
für [mm] \lambda [/mm] bekomme ich dann die Werte [mm] \lambda_{1}=2 [/mm] und [mm] \lambda _{2}=\bruch{4}{3}
[/mm]
Für die anderen 3 Variblen bekomme ich dann raus:
[mm] x_{1}=-1; x_{2}=-\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] y_{1}=0; y_{2}=\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] z_{1}=0; z_{2}=\bruch{2}{3}
[/mm]
Und so hats mein Prof gemacht:
[mm] 0=x*(1+\lambda)
[/mm]
[mm] 0=y*(2+\lambda)
[/mm]
[mm] 0=z*(2+\lambda)
[/mm]
[mm] x=\bruch{y}{2}
[/mm]
z=y
Das hat er dann auch in die 4., nullgesetzte Gleichung eingesetzt:
[mm] (\bruch{1}{4}+1+1)*y^{2}=0
[/mm]
[mm] y=z=2x=\bruch{2}{3}
[/mm]
Warum sind meine Ergebnisse so viel anders???
Danke^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Sa 28.08.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Das habe ich gerechnet:
>
> [mm]F=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}+\lambda[/mm] *
> [mm](x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F_{x}}{\partial x}=2(x-1)+2*\lambda*x[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F_{y}}{\partial y}=2(y-2)+2*\lambda*y[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F_{z}}{\partial z}=2(z-2)+2*\lambda*z[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F_{\lambda}}{\partial \lambda}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1[/mm]
>
> Die ersten 3 Ableitungen nullsetzen und nach einer Variable
> umstellen:
> [mm]x=1-\lambda[/mm]
> [mm]y=2-\lambda[/mm]
> [mm]z=2-\lambda[/mm]
>
Das ist glaube ich falsch, es folgt:
[mm] x=\bruch{1}{\lambda+1}
[/mm]
[mm] y=\bruch{2}{\lambda+1}
[/mm]
[mm] z=\bruch{2}{\lambda+1}
[/mm]
also wie Dein Prof sagt: z=y=2x
Das in die 4. Gleichung eingesetzt ergibt [mm] 9x^2=1 [/mm] also [mm] x\pm\bruch{1}{3}
[/mm]
> Dass habe ich in die 4. Gleichung eingesetzt und auch
> nullgesetzt
> [mm](1-\lambda )^{2}+(2-\lambda )^{2}+(2-\lambda )^{2}-1=0[/mm]
>
> für [mm]\lambda[/mm] bekomme ich dann die Werte [mm]\lambda_{1}=2[/mm] und
> [mm]\lambda _{2}=\bruch{4}{3}[/mm]
>
> Für die anderen 3 Variblen bekomme ich dann raus:
> [mm]x_{1}=-1; x_{2}=-\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]y_{1}=0; y_{2}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]z_{1}=0; z_{2}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Und so hats mein Prof gemacht:
>
> [mm]0=x*(1+\lambda)[/mm]
> [mm]0=y*(2+\lambda)[/mm]
> [mm]0=z*(2+\lambda)[/mm]
>
Das ist nicht richtig, hier steht bestimmt
[mm] 1=x*(1+\lambda)
[/mm]
[mm] 2=y*(1+\lambda)
[/mm]
[mm] 2=z*(1+\lambda)
[/mm]
> [mm]x=\bruch{y}{2}[/mm]
> z=y
>
> Das hat er dann auch in die 4., nullgesetzte Gleichung
> eingesetzt:
> [mm](\bruch{1}{4}+1+1)*y^{2}=0[/mm]
>
> [mm]y=z=2x=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Warum sind meine Ergebnisse so viel anders???
> Danke^^
>
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