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Hallo,
betrachtet werden soll:
[mm] p(x)=\summe_{k=0}^{n}((x-x_k)^2\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}).
[/mm]
Dabei sind die [mm] l_k [/mm] die Lagrangeschen Grundpolynome, also [mm] l_k(x)=\produkt_{i=0,i\not=k}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}
[/mm]
Nun ist mir klar, dass dies ein Polynom zweiten Grades darstellt, also die Form [mm] p(x)=ax^2+bx+c [/mm] hat. Ich möchte jetzt aber zusätzlich die Koeffizienten a,b,c bestimmen.
Dazu hätte ich p(x) durch Ausmultiplizieren und Ausnutzung der Linearität der Summe wie folgt umgeschrieben:
[mm] p(x)=\summe_{k=0}^{n}((x-x_k)^2\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx})
[/mm]
[mm] =x^2\summe_{k=0}^{n}\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}-2x\summe_{k=0}^{n}x_k\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}+\summe_{k=0}^{n}x_{k}^{2}\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}
[/mm]
Als nächstes würde ich einen Koeffizientenvergleich vornehmen, sodass sich folgendes ergibt:
[mm] a=\summe_{k=0}^{n}\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}
[/mm]
[mm] b=\summe_{k=0}^{n}x_k\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}
[/mm]
[mm] c=\summe_{k=0}^{n}x_{k}^{2}\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}
[/mm]
An diesem Punkt komme ich nicht weiter, denn ich weiss nicht, wie ich die Integrale berechnen soll, da keine Stützstellen [mm] x_k [/mm] gegeben sind.
mfg
piccolo
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Hey,
mal angenommen, die vorherige Rechnung war so richtig, dann erhalte ich die zu bestimmen Werte:
> [mm]a=\summe_{k=0}^{n}\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}[/mm]
>
> [mm]b=\summe_{k=0}^{n}x_k\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}[/mm]
>
> [mm]c=\summe_{k=0}^{n}x_{k}^{2}\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}[/mm]
>
> An diesem Punkt komme ich nicht weiter, denn ich weiss
> nicht, wie ich die Integrale berechnen soll, da keine
> Stützstellen [mm]x_k[/mm] gegeben sind.
Ich habe jetzt noch ne Lösungsidee, unzwar gibt es ja die Möglichkeit, dass Integral und Summe vertauscht werden können (Satz von der monotonen Konvergenz).
Wenn ich diese oben machen würde, dann ergäbe sich:
[mm] a=\summe_{k=0}^{n}\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}=\integral_{1}^{2}{\underbrace{\summe_{k=0}^{n}l_k(x)}_{=1} dx}=\integral_{1}^{2}{1 dx}=1
[/mm]
bzw. da die [mm] x_k [/mm] jeweils feste Werte sind:
[mm] b=\summe_{k=0}^{n}x_k\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}=\integral_{1}^{2}{\summe_{k=0}^{n} \underbrace{x_kl_k(x)}=x dx}=\integral_{1}^{2}{x dx}=\frac{3}{2}
[/mm]
kann man das im Prinzip so machen?
mfg piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> mal angenommen, die vorherige Rechnung war so richtig, dann
ich nehme das jetzt auch mal an 
> erhalte ich die zu bestimmen Werte:
>
> > [mm]a=\summe_{k=0}^{n}\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}[/mm]
> >
> > [mm]b=\summe_{k=0}^{n}x_k\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}[/mm]
> >
> > [mm]c=\summe_{k=0}^{n}x_{k}^{2}\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}[/mm]
>
> >
> > An diesem Punkt komme ich nicht weiter, denn ich weiss
> > nicht, wie ich die Integrale berechnen soll, da keine
> > Stützstellen [mm]x_k[/mm] gegeben sind.
>
> Ich habe jetzt noch ne Lösungsidee, unzwar gibt es ja die
> Möglichkeit, dass Integral und Summe vertauscht werden
> können (Satz von der monotonen Konvergenz).
So schweres Geschuetz brauchst du gar nicht. Hier hast du eine endliche Summe, also reicht die Linearitaet des Integrals voellig aus.
> Wenn ich diese oben machen würde, dann ergäbe sich:
>
> [mm]a=\summe_{k=0}^{n}\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}=\integral_{1}^{2}{\underbrace{\summe_{k=0}^{n}l_k(x)}_{=1} dx}=\integral_{1}^{2}{1 dx}=1[/mm]
>
> bzw. da die [mm]x_k[/mm] jeweils feste Werte sind:
> [mm]b=\summe_{k=0}^{n}x_k\integral_{1}^{2}{l_k(x) dx}=\integral_{1}^{2}{\summe_{k=0}^{n} \underbrace{x_kl_k(x)}=x dx}=\integral_{1}^{2}{x dx}=\frac{3}{2}[/mm]
>
> kann man das im Prinzip so machen?
Ja. Und nicht nur im Prinzip: man kann das so machen.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 26.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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