Lagrange-Optimierungsproblem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Di 03.02.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo. Habe hier ein Optimierungsproblem und komme an einer Stelle nicht weiter. Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen.
[mm] f(x)=(x-2)^{2}+(y-3)^{2}
[/mm]
[mm] h(x)=x^{2}+y^{2}-1=0
[/mm]
L(x, [mm] \lambda [/mm] ) = [mm] (x-2)^{2}+(y-3)^{2} [/mm] + [mm] \lambda (x^{2}+y^{2}-1)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x}= 2(x-2)+2x\lambda [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial L}{\partial y}= 2(y-3)+2y\lambda [/mm] = 0
[mm] x^{2}+y^{2}-1=0
[/mm]
Wie komme ich auf [mm] \lambda [/mm] , x, y? Wenn da jetzt stehen würde [mm] \lambda (x^{2}+y^{2}-1)=0 [/mm] wäre ja einmal [mm] \lambda= [/mm] 0 und einmal [mm] x^{2}+y^{2}-1=0. [/mm] dann gäbe es ja 2 Fälle. Aber wie mache ich das hier?
Ich hoffe mir kann da jemand helfen. Danke schonmal
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> Hallo. Habe hier ein Optimierungsproblem und komme an einer
> Stelle nicht weiter. Vielleicht kann mir da jemand
> weiterhelfen.
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> [mm]f(x)=(x-2)^{2}+(y-3)^{2}[/mm]
>
> [mm]h(x)=x^{2}+y^{2}-1=0[/mm]
>
> L(x, [mm]\lambda[/mm] ) = [mm](x-2)^{2}+(y-3)^{2}[/mm] + [mm]\lambda (x^{2}+y^{2}-1)[/mm]
>
>I. [mm]\bruch{\partial L}{\partial x}= 2(x-2)+2x\lambda[/mm] = 0
>
>II. [mm]\bruch{\partial L}{\partial y}= 2(y-3)+2y\lambda[/mm] = 0
>
>III. [mm]x^{2}+y^{2}-1=0[/mm]
Hallo,
mir kommt es so am einfachsten vor:
I. <==> [mm] (x-2)+x\lambda= [/mm] 0 <==> [mm] x(1+\lambda)=2
[/mm]
1. Fall: [mm] \lambda=-1. [/mm] Das führt zu einem Widerspruch.
Also ist [mm] \lambda\not=-1 [/mm] und man erhält [mm] x=\bruch{2}{1+\lambda}
[/mm]
Entsprechend bekommt man aus II.: [mm] y=\bruch{3}{1+\lambda}
[/mm]
Einsetzen in III. ergibt: [mm] 0=(\bruch{2}{1+\lambda})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{3}{1+\lambda})^2 [/mm] -1.
Auflösen nach [mm] \lambda [/mm] und hiermit dann x und y berechnen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Di 03.02.2009 | | Autor: | tynia |
Genau das mache ich gerade  . Melde mich wieder wenn das nicht mit dem ergebnis übereinstimmt, was mein professor vorgeschlagen hat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Di 03.02.2009 | | Autor: | tynia |
Ok. Es stimmt überein. Vielen Dank für deine Hilfe. Was würde ich nur ohne dich tun 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Di 03.02.2009 | | Autor: | tynia |
Wie kommst du auf den Fall [mm] \lambda [/mm] = -1?
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Hallo tynia!
Bei diesem Fall wird gerade die Klammer [mm] $(\lambda+1)$ [/mm] gleich Null.
Dieser Fall muss gesondert betrachtet werden, da anschließend durch die o.g. Klammer dividiert wrid.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:42 Di 03.02.2009 | | Autor: | tynia |
Wie mache ich das dann? Da steht ja eigentlich: x(1+ [mm] \lambda [/mm] )=2 . Die 2 stört mich da.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Di 03.02.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo tynia!
Das steht doch alles bereits in Angela's Antwort ...
Gruß vom
Roadrunner
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