Lagebeziehungen von g und E < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Pure |
Hallöchen alle zusammen!
Also wir sollten uns mal wieder was eigenständig in Mathe beibringen und ich bin bis jetzt kläglich daran gescheitert.
Es geht um die Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen.
Da gibt es ja die 3 Fälle:
a) g liegt in E
a.1) g liegt parallel zu E, aber NICHT in E
b) g und E schneiden sich in einem Punkt P
c) g und E sind windschief- sie schneiden sich nicht und sind nicht parallel oder identisch
So. Soweit, so gut. Mein Problem liegt jetzt darin, wie ich das ganze beweisen soll. Um c), also das Windschiefe Problem zu lösen, muss ich ja eigentlich nur die ersten beiden verstehen.
Für den Schnittpunkt P zu "Problem" b): Muss ich da g und E gleichsetzen und für die reelen Zahlen s, t und r (beispielsweise) Ergebnisse herausbekommen aus dem LGS und diese dann in die Ursprungsgleichungen von E oder g einsetzen, um die Koordinaten von P zu erhalten? Liege ich da richtig oder falsch?
Demnach müsste dann doch auch a) zu bewältigen sein:
Lässt sich kein Punkt P finden, also das LGS nicht für s,t und r erfüllen, dann kann ich daraus schon mal schließen, ass g und E entweder windschief, identisch oder parallel sind, oder?
Wenn allerdings g und E identisch sind, haben sie ja theoretisch unzählig viele Schnittpunkte, oder? Das ist das, was ich im Moment auch nicht verstehe...
Hoffe, ihr könnt mir vielleicht auf die Sprünge helfen. Wäre euch wirklich dankbar bei meinem jetzt vorherrschenden "Gedanken-Wirr-Warr" 
Liebe Grüße, Pure
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Walde |
hi Pure,
du hast schon fast alles verstanden. Das wichtigste zuerst: eine Ebene und eine Gerade können NIE windschief zueinander liegen. Sie liegen parallel (oder g in E) oder schneiden sich.
Du hast schon richtig erkannt: Du setzt Gerade und Ebene gleich.
Du hast dann drei Gleichungen und drei Unbekannte (bzw. eine inhomogene 3x3 Matrix) zu lösen. Da können drei Sachen passieren:
1. genau eine Lösung für r,s,t, also gibt es einen Schnittpunkt
2. unendlich viele Lösungen, also liegt g in E
3. keine Lösung, also liegen g und E parallel
und das war's schon.
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Do 16.11.2006 | | Autor: | Pure |
Hey,
danke für deine Antwort! Oh je,stand ich auf dem Schlauch*g* Aber voll super, ich habe jetzt alles verstanden. Ist ja doch nicht so schwer, wie ich gestern Abend noch gedacht habe
Ein ganz liebes DANKESCHÖN!!!!
Jetzt habe ich aber noch eine Frage: Wie sieht es denn aus, wenn ich unendlich viele Lösungen aus der Matrix herausbekomme? Könnte ich dann theoretisch alles einsetzen für r, s und t und das LGS wird immer gelöst? Verstehe ich das richtig?
Liebe Grüße, Pure
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Do 16.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hey,
> danke für deine Antwort! Oh je,stand ich auf dem
> Schlauch*g* Aber voll super, ich habe jetzt alles
> verstanden. Ist ja doch nicht so schwer, wie ich gestern
> Abend noch gedacht habe
> Ein ganz liebes DANKESCHÖN!!!!
>
> Jetzt habe ich aber noch eine Frage: Wie sieht es denn aus,
> wenn ich unendlich viele Lösungen aus der Matrix
> herausbekomme? Könnte ich dann theoretisch alles einsetzen
> für r, s und t und das LGS wird immer gelöst? Verstehe ich
> das richtig?
>
> Liebe Grüße, Pure
Hallo Pure,
Genau so ist es.
Wenn du die Gerade und die Ebene gleichsetzt, erhältst du ein Lineares Gleichungssystem oder eine Matrix, was ja im Prinzip dasselbe darstellt, mit 3 Gleichungen (Ich nehme mal an, ihr rechnet im [mm] \IR³), [/mm] und drei unbekannten Parametern, r, s und t (Zwei von der Ebene, einer von der Geraden).
Dieses LGS hat entweder genau eine Lösung, dann hast du einen Schnittpunkt, oder keine Lösung (Z.B. eine Zeile mit 0=1, oder so), dann gilt: [mm] g\parallel{E}. [/mm] Oder es gibt halt unendlich viele Lösungen, (Bsp: Zeile 3=3), dann liegt g in der Ebene E.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Do 16.11.2006 | | Autor: | Pure |
Ahh, ok. Jetzt habe ich das auch noch verstanden. Freu mich total
Und auch dir ein ganz großes Dankeschön für deine Hilfe! Ist echt super, dass ihr euch hier die Zeit nehmt...
Liebe Grüße, Pure
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 16.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi,
ich möchte noch was ergänzen. Unendlich viele Lösungen heisst NICHT, dass du für r,s UND t beliebig einsetzen kannst. Du kriegst schon noch abhängigkeiten zwischen r,s, und t raus. Das könnte z.B. so aussehen:
[mm] \vmat{ r & +s &+t & =2 \\ r & +2s &+3t & =1 \\r & +s & +t & = 2}\gdw \vmat{ r & +s &+t & =2 \\ 0 & +s &+2t & =- \\ 0 & 0 & 0 &=0}
[/mm]
Das bedeutet dann
r=3+t
s=-1-2t
t=t
r,s,t hängen also schon noch voneinander ab. Dass du t frei wählen kannst, bedeutet nur, dass g und E unendlich viele Punkte gemeinsam haben.
t gibt zB einen Punkt auf der Geraden an und r und s sagen dir dann, wie du genau diesen Punkt über die Ebene darstellst.
Ich wollte nur noch mal klären, dass du nicht jede beliebige Kombination von r, s , t nehmen kannst, auch wenn es davon unendlich viele gibt.
L G walde
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