Lage zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Gegeben sind [mm] E_{0}:\vec{x}=2x+2z=1 [/mm] und [mm] E_{1}:\vec{x}=3x+z=2
[/mm]
Ich will jetzt schauen, ob sich die beiden Ebenen schneiden, oder echt parallel sind, oder identisch sind. Wenn sie identisch wären, würde gelten [mm] E_{0}=b*E_{1}. [/mm] Ich gleich also die einzelnen Parameter, die vor den Variablen stehe ab:
I 2=3b
II 2=b
[mm] \Rightarrow [/mm] 2=6
Also schneiden sich die beiden Ebenen nicht ?!
Jetzt ein anderer Weg. Es gilt ja wie am Anfang gesagt [mm] E_{0}:\vec{x}=2x+2z=1 [/mm] und [mm] E_{1}:\vec{x}=3x+z=2
[/mm]
x=0.5-z
3x+z=2
[mm] \Rightarrow [/mm] z=-1 x=1 (y=r)
Schnittgerade g: [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+r\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Also schneiden sie sich doch in einer Schnittgeraden ?!
Wo liegt denn nun der Fehler?
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Hallo!
Löse doch einfach das folgende Gelichungsystem:
2x+0y+2z=1
3x+0y+ z=2
Wann existiert eine Schnittgerade? Wenn das Gelichungsystem unendlich viele Lösungen besitzt. Und das trifft auf unser GLS zu!
Ich bekomme auch für z ein anderen Wert heraus. Löse das Gleichungssytem noch einmal.
Ich kann dir das mal an einer andern Aufgabe vormachen. [mm] E_{1}=3x-4y+z=1 [/mm] und [mm] E_{2}=5x+2y-3z=6
[/mm]
GLS:
3x-4y+z=1
5x+2y-3z=6
[mm] \Rightarrow [/mm]
13x-5z=13
5x+2y-3z=6
So und jetzt muss man in die erste Gleichung also 13x-5z=13 für z=13t einsetzten so erhält man x=1+5t
Nachdem man das gemacht hat sett man x=1+5t und z=13t ind die 2. Gleichung ein so erhält man y=0,5+7t
Somit ist die gesucht Schnittgerade: [mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0,5 \\ 0}+t \vektor{5 \\ 7 \\ 13} [/mm] Ok?
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Do 03.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Ich hab mal deine Aufgabe schnell gerechnet ich bekomme als Schnittgerade:
[mm] g:\vec{x}= \vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 0} [/mm] + t [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] heraus
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> Ich hab mal deine Aufgabe schnell gerechnet
Viel zu schnell!!!
> ich bekomme als
> Schnittgerade:
>
> [mm]g:\vec{x}= \vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 0}[/mm] + t [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> heraus
Das ist doch Unfug.
Der Stützvektor löst nicht die Gleichung für [mm] E_2,
[/mm]
und der Richtungsvektor steht nicht senkrecht auf den Normalenvektoren der Ebenen.
Gruß v. Angela
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> Hi!
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> Gegeben sind [mm]E_{0}:\vec{x}=2x+2z=1[/mm] und
> [mm]E_{1}:\vec{x}=3x+z=2[/mm]
>
> Ich will jetzt schauen, ob sich die beiden Ebenen
> schneiden, oder echt parallel sind, oder identisch sind.
> Wenn sie identisch wären, würde gelten [mm]E_{0}=b*E_{1}.[/mm] Ich
> gleich also die einzelnen Parameter, die vor den Variablen
> stehe ab:
>
> I 2=3b
> II 2=b
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2=6
Hallo,
was Du tust, ist verständlich (und so wie Du es im Abitur tun mußt) ausgedrückt das Folgende:
Du schaust, ob die Normalenvektoren der Ebene, also [mm] \vektor{2 \\ 0\\2} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 0\\1} [/mm] in diesselbe Richtung weisen, ob also
[mm] \vektor{2 \\ 0\\2}=b\vektor{3 \\ 0\\1} [/mm] für ein [mm] b\in \IR,
[/mm]
und SDu stellst fest: das ist nicht der Fall.
> Also schneiden sich die beiden Ebenen nicht ?!
Der Schluß, den Du daraus ziehst, ist völlig falsch.
Da die Normalenvektoren nicht parallel sind, können die Ebenen weder identisch noch parallel (und nicht identisch) sein.
Also schneiden sich die beiden Ebenen.
Die Schnittgerade kannst Du durch lösen v.
2x+2z=1
3x+z=2
herausbekommen, was Du auch tun möchtest, Du hast Dich jedoch verrechnet.
Dein Prinzip stimmt aber, so hast Du den Richtungsvektor richtig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Do 03.01.2008 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Jetzt ist es mir irgendwie klar geworden, dass mein Schluss wirklich quatsch war ;)
Wenn [mm] E_{0}\not=bE_{1} [/mm] kann ich eigentlich nur daraus schließen, dass beide Ebenen nicht identisch sind, richtig? Sie können aber immer noch echt parallel sein, oder sich schneiden.
Und den Rechenfehler, hab ich auch entdeckt. Vielen Dank Euch beiden! Stimmt das aber, was ich in dem post sage? (ich will sichergehn, dass ich es auch verstanden hab).
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> Jetzt ist es mir irgendwie klar geworden, dass mein Schluss
> wirklich quatsch war ;)
Dann hat sich der Fehker gelohnt.
>
> Wenn [mm]E_{0}\not=bE_{1}[/mm] kann ich eigentlich nur daraus
> schließen, dass beide Ebenen nicht identisch sind, richtig?
Was genau meinst Du mit [mm] E_{0}\not=bE_{1}?
[/mm]
Wir haben die Normalenvektoren der beiden Ebenen verglichen, und das ist das, was Du auch bei solchen Aufgaben tun solltest.
A. Wenn diese nicht parallel sind, müssen sich die Ebenen in einer Geraden schneiden
B. Wenn die Normalenvektoren parallel sind, sind die Ebenen entweder
1. identisch oder
2. parallel und nicht identisch (kein gemeinsamer Punkt)
Ich will Dir für B1. und B2. Beispiele geben:
B1.:
[mm] E_1: [/mm] x+2y+3z=4
[mm] E_2: [/mm] 3x+6y+9z=5
Die Normalenvektor von [mm] E_2 [/mm] ist das Dreifache des von [mm] E_1.
[/mm]
Es ist aber 5 nicht das Dreifache v. 4, also haben die beiden keinen gemeinsamen Punkt.
/Wahrscheinlich meintest Du das oben mit [mm] "E_{0}\not=bE_{1}".)
[/mm]
B2.:
[mm] E_1: [/mm] x+2y+3z=4
[mm] E_2: [/mm] 3x+6y+9z=12
Die Normalenvektor von [mm] E_2 [/mm] ist das Dreifache des von [mm] E_1,
[/mm]
und da 12 auch das Dreifache v. 4 ist, löst jeder Punkt, der in [mm] E_1 [/mm] liegt auch die Gleichung v. [mm] E_2.
[/mm]
Die beiden Ebenen sind identisch.
Gruß v. Angela
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