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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:44 Do 18.08.2005 | | Autor: | hase-hh |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Aufgabe: Wie ist der Radius des Kreises k um M (2/3) zu wählen, damit die Gerade g: x = (1/0) + s(2/1) eine Tangente an den Kreis ist?
Im Buch steht: "Wir formen die Parameterform der Geradengleichung in eine Hessesche Normalenform um: (1 / -2) ist orthogonal zum Richtungsvektor (2/1).
Eine Hessesche Normalenform von g lautet daher
[ x - (1/0)] * 1 /wurzel(5) (1/-2) = 0
Der Abstand von M zu g ist dann [ (2/3) - (1/0)] * 1 /wurzel(5) (1/-2) = wurzel(5).
Was ich nicht verstanden habe ist: Wieso nehme ich (1/-2) als richtungsvektor und nicht den gegeben richtungsvektor von g (2/1) ?
Wie komme ich von der parameterform einer geraden auf die normalenform?
In einer Formelsammlung habe ich gefunden:
Normiert man den Normalenvektor so erhält man die entsprechende hess'sche Form, also n = wurzel ((2*2) + (1*1)) = wurzel(5),
und n0 = 1 / wurzel(5) ---> richtig?
In der Formelsammlung steht unter Normalendarstellung
(x-p)*n = 0
Nur, wie bringe ich das alles in eine Lösung?
Danke für eure Hilfe!!
gruss
hase-hh
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Hallo hase-hh!
> Im Buch steht: "Wir formen die Parameterform der
> Geradengleichung in eine Hessesche Normalenform um:
> (1 / -2) ist orthogonal zum Richtungsvektor (2/1).
>
> Eine Hessesche Normalenform von g lautet daher
"Hesse'sche Normalform"
> [ x - (1/0)] * 1 /wurzel(5) (1/-2) = 0
>
>
> Der Abstand von M zu g ist dann [ (2/3) - (1/0)] * 1
> /wurzel(5) (1/-2) = wurzel(5).
>
> Was ich nicht verstanden habe ist: Wieso nehme ich (1/-2)
> als richtungsvektor und nicht den gegeben richtungsvektor
> von g (2/1) ?
Weil Du ja einen sogenannten "Normalenvektor" haben möchtest.
Das heißt, dieser Normalenvektor steht senkrecht auf unseren Richtungsvektor [mm] $\vektor{2 \\ 1}$ [/mm] .
Mit dem Skalarprodukt muss also gelten:
[mm] $\vec{n}*\vektor{2 \\ 1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n_x \\ n_y}*\vektor{2 \\ 1} [/mm] \ = \ [mm] 2*n_x [/mm] + [mm] 1*n_y [/mm] \ = \ 0$
Umgeformt nach [mm] $n_y$ [/mm] ergibt das: [mm] $n_y [/mm] \ = \ [mm] -2*n_x$
[/mm]
Und da es natürlich unendlich viele Normalenvektoren gibt, wähle ich hier:
[mm] $n_x [/mm] \ := \ [mm] \red{1}$ $\Rightarrow$ $n_y [/mm] \ = \ [mm] -2*\red{1} [/mm] \ = \ [mm] \blue{-2}$ $\Rightarrow$ $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\red{1} \\ \blue{-2}}$
[/mm]
> Wie komme ich von der parameterform einer geraden auf die
> normalenform?
>
> In einer Formelsammlung habe ich gefunden:
>
> Normiert man den Normalenvektor so erhält man die
> entsprechende hess'sche Form, also n = wurzel ((2*2) +
> (1*1)) = wurzel(5),
>
> und n0 = 1 / wurzel(5) ---> richtig?
Genauer (Du meinst wohl das richtige):
[mm] $\left|\vec{n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n_x^2 + n_y^2} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \wurzel{5}$
[/mm]
Der normierte Normalenvektor (= Normalenvektor mit der Länge 1) lautet dann:
[mm] $\vec{n_0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left|\vec{n}\right|}*\vec{n}$
[/mm]
> In der Formelsammlung steht unter Normalendarstellung
> (x-p)*n = 0
Das ist die Normalenform! Die Hesse'sche Normalform gibt zudem noch den Abstand $d_$ der Gerade zum Koordinatenursprung an. [mm] ($\rightarrow$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia)
[mm] $\left(\vec{x} - \vec{p}\right)*\vec{n_0} [/mm] \ = \ [mm] \vec{x}*\vec{n_0} [/mm] - [mm] \underbrace{\vec{p}*\vec{n_0}}_{= \ d} [/mm] \ = \ [mm] \vec{x}*\vec{n_0} [/mm] - d \ = \ 0$
Wenn Du nun für [mm] $\vec{p}$ [/mm] den Ortsvektor des gegebenen Punktes hier einsetzt und das Skalarprodukt entsprechend berechnest, hast Du die Hesse'sche Normalform (HNF).
Gruß vom
Roadrunner
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