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Forum "Geraden und Ebenen" - Lage der Gerade zur Ebene
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Lage der Gerade zur Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:07 Fr 11.05.2007
Autor: itse

Aufgabe
Welche Lage hat die Gerade $g: [mm] \vec [/mm] x$ = [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm] + [mm] $\lambda$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm] zu der Ebene $e: [mm] \vec [/mm] x$ = [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] + [mm] $\kappa_1$ $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm] + [mm] $\kappa_2$ $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm] ?

Berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.

Hallo zusammen,

hier meine Lösung, wäre nett wenn es sich jemand anschaut und sagt, ob es passt? Vielen Dank im Voraus.


Prüfung auf Parallelität:

I:     1  = [mm] $\kappa_1$ [/mm] - [mm] $\kappa_2$ [/mm]
II:    0  = [mm] -$\kappa_1$ [/mm] + [mm] $\kappa_2$ [/mm]
III:   -1 = [mm] -$\kappa_1$ [/mm] - [mm] $\kappa_2$ [/mm]


I+III: 0 = [mm] -2$\kappa_2$ [/mm]
       [mm] $\kappa_2$ [/mm] = 0

1 = [mm] $\kappa_1$ [/mm] - 0
1 = [mm] $\kappa_1$ [/mm] in II: 0 = -1 + 0 --> 0 = -1 Widerspruch!

Gerade g nicht parallel zur Ebene e.


Berechnung Schnittpunkt:

I:    2 + [mm] $\lambda$ [/mm] = 2 + [mm] $\kappa_1$ [/mm] - [mm] $\kappa_2$ [/mm]
II:   1             = 1 - [mm] $\kappa_1$ [/mm] + [mm] $\kappa_2$ [/mm]
II:  -1 - [mm] $\lambda$ [/mm] = 1 - [mm] $\kappa_1$ [/mm] - [mm] $\kappa_2$ [/mm]

I+III: 1 = 3 - 2 [mm] $\kappa_2$ [/mm]
      -2 = -2 [mm] $\kappa_2$ [/mm]
       1 = [mm] $\kappa_2$ [/mm] in II:

1 = 1 - [mm] $\kappa_1$ [/mm] +1
0 = 1 - [mm] $\kappa_1$ [/mm]
-1 = [mm] -$\kappa_1$ [/mm]
1 = [mm] $\kappa_1$ [/mm]

[mm] $\kappa_1$ [/mm] = 1 und [mm] $\kappa_2$ [/mm] = 1 in I:

2 + [mm] $\lambda$ [/mm] = 2 + 1 - 1
2 + [mm] $\lambda$ [/mm] = 2
    [mm] $\lambda$ [/mm] = 0 in Gerade g:

2 + 0 * 1    =  2
1 + 0 * 0    =  1
-1 + 0 * (-1) = -1

Schnittpunkt der Gerade g mit Ebene e lautet [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm]

        
Bezug
Lage der Gerade zur Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Fr 11.05.2007
Autor: Sigrid

Hallo Itse,

> Welche Lage hat die Gerade [mm]g: \vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\lambda[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] zu der
> Ebene [mm]e: \vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\kappa_1[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\kappa_2[/mm] [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] ?
>  
> Berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
>  Hallo zusammen,
>  
> hier meine Lösung, wäre nett wenn es sich jemand anschaut
> und sagt, ob es passt? Vielen Dank im Voraus.
>  
>
> Prüfung auf Parallelität:
>  
> I:     1  = [mm]\kappa_1[/mm] - [mm]\kappa_2[/mm]
>  II:    0  = -[mm]\kappa_1[/mm] + [mm]\kappa_2[/mm]
>  III:   -1 = -[mm]\kappa_1[/mm] - [mm]\kappa_2[/mm]
>  
>
> I+III: 0 = -2[mm]\kappa_2[/mm]
>         [mm]\kappa_2[/mm] = 0
>  
> 1 = [mm]\kappa_1[/mm] - 0
>  1 = [mm]\kappa_1[/mm] in II: 0 = -1 + 0 --> 0 = -1 Widerspruch!

>  
> Gerade g nicht parallel zur Ebene e.
>  
>
> Berechnung Schnittpunkt:
>  
> I:    2 + [mm]\lambda[/mm] = 2 + [mm]\kappa_1[/mm] - [mm]\kappa_2[/mm]
>  II:   1             = 1 - [mm]\kappa_1[/mm] + [mm]\kappa_2[/mm]
>  II:  -1 - [mm]\lambda[/mm] = 1 - [mm]\kappa_1[/mm] - [mm]\kappa_2[/mm]
>  
> I+III: 1 = 3 - 2 [mm]\kappa_2[/mm]
>        -2 = -2 [mm]\kappa_2[/mm]
>         1 = [mm]\kappa_2[/mm] in II:
>
> 1 = 1 - [mm]\kappa_1[/mm] +1
> 0 = 1 - [mm]\kappa_1[/mm]
>  -1 = -[mm]\kappa_1[/mm]
>  1 = [mm]\kappa_1[/mm]
>  
> [mm]\kappa_1[/mm] = 1 und [mm]\kappa_2[/mm] = 1 in I:
>
> 2 + [mm]\lambda[/mm] = 2 + 1 - 1
>  2 + [mm]\lambda[/mm] = 2
>      [mm]\lambda[/mm] = 0 in Gerade g:
>
> 2 + 0 * 1    =  2
>  1 + 0 * 0    =  1
>  -1 + 0 * (-1) = -1
>  
> Schnittpunkt der Gerade g mit Ebene e lautet
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]

Du hast alles richtig gemacht. Allerdings hättest du dir die gesonderte Untersuchung auf Parallelität schenken können.
Denn, wenn du genau einen gemeinsamen Punkt erhälst, dann sind Gerade und Ebene nicht parallel. Bekommst du bei der Schnittpunktsberechnung keine Lösung ist die Gerade parallel zur Ebene. Bekommst du unendlich viele Lösungen, dann liegt die Gerade in der Ebene.

Gruß
Sigrid


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