Lage der Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\lambda*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+\mu*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] E_{2}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\lambda*\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+\mu*\vektor{3 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Bei dieser Aufgabe sollen wir die Ebenen nicht gleichsetzen, sondern mit der Punkt-Normal-Form und der Koordinatenform arbeiten.
Ich habe den Normalvektor [mm] bestimmt:\vec{n}=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Jedoch weiß ich nicht, was mein [mm] \vec{a} [/mm] und mein [mm] \vec{x} [/mm] ist. Ebenfalls weiß ich nicht, wie ich weiter fortfahren muss, um die Lage der Ebenen heraus zu finden.
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hallo espritgirl,
> [mm]E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\lambda*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+\mu*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]E_{2}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\lambda*\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+\mu*\vektor{3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Hallo Zusammen ,
>
> Bei dieser Aufgabe sollen wir die Ebenen nicht
> gleichsetzen, sondern mit der Punkt-Normal-Form und der
> Koordinatenform arbeiten.
>
> Ich habe den Normalvektor [mm]bestimmt:\vec{n}=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm]
Den mußt Du nochmal bestimmen.
>
> Jedoch weiß ich nicht, was mein [mm]\vec{a}[/mm] und mein [mm]\vec{x}[/mm]
[mm]\vec{a}[/mm] ist ein Punkt auf der Ebene, also der Stützvektor der Ebene.
[mm]\vec{x}[/mm] ist auch ein Punkt auf der Ebene, aber eben variabel.
> ist. Ebenfalls weiß ich nicht, wie ich weiter fortfahren
> muss, um die Lage der Ebenen heraus zu finden.
Zunächst untersuche die beiden Normalenvektoren der Ebenen.
Sind diese linear abhängig, so ist zu prüfen, ob der Stützvektor der ersten Ebene auch ein Punkt auf der zweiten Ebene ist.
Ist das auch ein Punkt auf der zweiten Ebene, so sind die Ebenen identisch.
Im anderen Fall sind sie parallel.
>
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
Gruß
MathePower
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Hallo ,
Sorry, dass ich mich erst jetzt wieder melde, aber ich habe heute Englisch geschrieben...
> Hallo espritgirl,
>
> > [mm]E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\lambda*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+\mu*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> >
> > [mm]E_{2}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\lambda*\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+\mu*\vektor{3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> > Ich habe den Normalvektor [mm]bestimmt:\vec{n}=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>
> Den mußt Du nochmal bestimmen.
Hmmmm... Ich finde meinen Fehler nicht, deswegen ist hier meine Rechnung:
[mm] \vec{u}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1} \vec{v}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
gesucht ist die Formel [mm] \vec{n}*(\vec{x}-\vec{a})=0
[/mm]
[mm] n*\vec{u}= [/mm] 0 und [mm] n*\vec{v}=0
[/mm]
[mm] 2n_{1}+n_{3} [/mm] =0
[mm] 3n_{1}+2n_{2}+n_{3}=0
[/mm]
[mm] =>n_{3}=-2n_{1} [/mm] => wähle [mm] n_{1}=1
[/mm]
[mm] =>n_{3}=-2 [/mm]
Dann habe ich eingesetzt und für [mm] n_{2}=-1 [/mm] erhalten.
Wo ist hier der Fehler?
> [mm]\vec{a}[/mm] ist ein Punkt auf der Ebene, also der Stützvektor
> der Ebene.
Kann ich mir den dann aussuchen? Also ist das egal ob ich [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] der [mm] E_{1} [/mm] oder [mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] der [mm] E_{2} [/mm] nehme?
> [mm]\vec{x}[/mm] ist auch ein Punkt auf der Ebene, aber eben
> variabel.
>
> > ist.
Hmmm... Ich kann mir schlecht einen Vektor aussuchen, oder? Wie stelle ich eine "Bedingung" auf um zu überprüfen, ob der Punkt auf der Ebene ist?
> Zunächst untersuche die beiden Normalenvektoren der
> Ebenen.
Okay.
> Sind diese linear abhängig, so ist zu prüfen, ob der
> Stützvektor der ersten Ebene auch ein Punkt auf der zweiten
> Ebene ist.
Die sind nicht linear abhängig, oder? Ich finde keine Zahl x, mit der ich multiplizieren kann und das gleiche raus kommt.
Mal angenommen, sie sind linear, dann setze ich den SV der ersten Ebene in die zweite Ebene als das [mm] \vec{x} [/mm] ein, oder?
Was muss ich dann machen? Haus-Verfahren?
> Ist das auch ein Punkt auf der zweiten Ebene, so sind die
> Ebenen identisch.
> Im anderen Fall sind sie parallel.
Okay.
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo Sarah,
> Hallo ,
>
> Sorry, dass ich mich erst jetzt wieder melde, aber ich habe
> heute Englisch geschrieben...
>
> > Hallo espritgirl,
> >
> > > [mm]E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\lambda*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+\mu*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]E_{2}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\lambda*\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+\mu*\vektor{3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> > > Ich habe den Normalvektor [mm]bestimmt:\vec{n}=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>
> >
> > Den mußt Du nochmal bestimmen.
>
> Hmmmm... Ich finde meinen Fehler nicht, deswegen ist hier
> meine Rechnung:
>
> [mm]\vec{u}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1} \vec{v}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm]
Wo hast du denn den Vektor [mm] \vec{v} [/mm] her? Der taucht ja so, wie du ihn verwendest, in keiner der Ebenengleichungen auf. Das kann so nicht stimmen. Wenn du den Normalenvektor einer Ebene bestimmen willst, dann musst du auch die beiden Richtungsvektoren der gleichen Ebene benutzen. Demnach in deinem Falle: (2; 0; 1) und (2; 2; 1).
Um die Lage der Ebenen zueinander zu untersuchen benutzt du am besten den gerade ermittelten Normalenvektor der Ebene [mm] E_{1}. [/mm] Diesen nimmst du und multipliziesrt in skalar mit JEDEM der Richtungsvektoren der Ebene [mm] E_{2}. [/mm] Wenn du bei BEIDEN Skalarprodukten Null erhälst, dann hast du nachgewiesen, dass die Ebenen parallel zueinander verlaufen (da der Normalenvektor von E1 ja senkrecht zu beiden Richtungsvektoren von E2 verläuft). Wenn auch nur eines der beiden Skalrprodukte (oder sogar beide) nicht Null sind, dann liegen die Ebenen nicht parallel zueinander. Ergo muss es eine Schnittgerade geben. Diese berechnest du z.B. eine der gegebenen Ebenen in die Normalform einsetzt und nach einem der Parameter umstellst. Den Parameter setzt du in die Ausgangsgleichung ein und erhälst die Geradengleichung der Schnittgerade von E1 und E2.
Wenn du allerdings nachgewiesen hast, dass beide Ebenen parallel sind (beide Skalarprodukte sind gleich Null), dann gibt es noch die Möglichkeiten, dass sie echt parallel sind oder dass sie unecht parallel (identisch) sind. Welche von beiden Parallelitäten hier der Fall ist überprüfst du mit einer Punktprobe, wie von Mathepower beschrieben. Erzeugt die Punkteprobe eine wahre Aussage sind die Ebenen eidentsich, anderenfalls sind sie parallel und haben einen Abstand zueinander. Diesen könnte man noch berechnen, aber das kommt an anderer Stelle. 
Probiers mal.
Gruß,
Tommy
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Hallo Tommy ,
Sorry, aber ich muss nochmal nachfragen... Hier verwendet teilweise Begriffe, die bei uns im Matheunterricht noch nicht gefallen sind ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") .
> Wo hast du denn den Vektor [mm]\vec{v}[/mm] her? Der taucht ja so,
> wie du ihn verwendest, in keiner der Ebenengleichungen auf.
Ja, das stimmt... Ich glaube, ich bin beim Rechnen in der Aufgabe verutscht.
> Wenn du den Normalenvektor einer
> Ebene bestimmen willst, dann musst du auch die beiden
> Richtungsvektoren der gleichen Ebene benutzen. Demnach in
> deinem Falle: (2; 0; 1) und (2; 2; 1).
Okay, dann ist u=(2;0;1) und v=(2;2;1)
Das Vorgehen ist dann aber analog zu dem, was ich mit dem falschen Vektor gemacht habe, oder?
> Um die Lage der Ebenen zueinander zu untersuchen benutzt du
> am besten den gerade ermittelten Normalenvektor der Ebene
> [mm]E_{1}.[/mm] Diesen nimmst du und multipliziesrt in skalar mit
> JEDEM der Richtungsvektoren der Ebene [mm]E_{2}.[/mm]
Okay, ein Begriff, den ich nicht kenne. Was ist Skalar? Wofür ist das da?
Was ist ein Skalarprodukt? NV*Skalar? Wahrscheinlich...
Wenn du bei
> BEIDEN Skalarprodukten Null erhälst, dann hast du
> nachgewiesen, dass die Ebenen parallel zueinander verlaufen
> (da der Normalenvektor von E1 ja senkrecht zu beiden
> Richtungsvektoren von E2 verläuft).
Okay.
> Wenn auch nur eines der
> beiden Skalrprodukte (oder sogar beide) nicht Null sind,
> dann liegen die Ebenen nicht parallel zueinander. Ergo muss
> es eine Schnittgerade geben. Diese berechnest du z.B. eine
> der gegebenen Ebenen in die Normalform einsetzt und nach
> einem der Parameter umstellst. Den Parameter setzt du in
> die Ausgangsgleichung ein und erhälst die Geradengleichung
> der Schnittgerade von E1 und E2.
Der Parameter wäre dann [mm] \vec{a}, [/mm] richtig?
> Wenn du allerdings nachgewiesen hast, dass beide Ebenen
> parallel sind (beide Skalarprodukte sind gleich Null), dann
> gibt es noch die Möglichkeiten, dass sie echt parallel sind
> oder dass sie unecht parallel (identisch) sind. Welche von
> beiden Parallelitäten hier der Fall ist überprüfst du mit
> einer Punktprobe, wie von Mathepower beschrieben. Erzeugt
> die Punkteprobe eine wahre Aussage sind die Ebenen
> eidentsich, anderenfalls sind sie parallel und haben einen
> Abstand zueinander. Diesen könnte man noch berechnen, aber
> das kommt an anderer Stelle.
Okay. Wenn die Begrifflichkeiten geklärt sind, dann setze ich mich dran.
Liebe Grüße und vielen Dank,
Sarah
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Hi,
ein Skalarprodukt ist folgendes:
wenn du zwei Dreimensionale Vektoren hast (bei zweidimensionalen geht das analog halt ohne den dritten Teil)
[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] a_{1}*b_{1} [/mm] + [mm] a_{2}*b_{2} [/mm] + [mm] a_{3}*b_{3}
[/mm]
Du multiplizierst also einfach immer die oberen zwei Zahlen, dann die in der Mitte und die underen und addierst die Zahlen.
Das ganze wird 0, wenn die zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen. Genauer will ich das jetzt nicht erklären, ihr bekommt es sicher noch im Unterricht.
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| Aufgabe | [mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\lambda*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+\mu*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] E_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\lambda*\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+\mu*\vektor{3 \\ 0 \\ 1} [/mm] |
Hallo Zusammen ,
Ich habe mich heute erneut an die Aufgabe gesetzt, nachdem ich gestern gemerkt habe, dass ich nicht weiter komme (saß zu lange an Mathe dran).
Mein Normalenvektor ist [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
Als Punkt habe ich [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] übernommen.
Somit lautet meine P-N-F:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -2}* [\vec{x}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}]
[/mm]
Dann habe ich daraus die Koordinatenform gebildet:
[mm] x_{1}-2x_{3}-(1-2)=0
[/mm]
=> [mm] x_{1}-2x_{3}=-1
[/mm]
Dann habe ich für die [mm] E_{2} [/mm] die x ausgerechnet:
[mm] E_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\lambda*\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+\mu*\vektor{3 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\lambda*\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+\mu*\vektor{3 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Das habe ich dann nach [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} [/mm] aufeglöst und in die [mm] K_F [/mm] eingesetzt:
[mm] 2*\lambda+3*\mu-[2*(3*\lambda+\mu)]=-1
[/mm]
=> [mm] \lambda=\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}*\mu
[/mm]
==> Das habe ich dann in [mm] E_{1} [/mm] als [mm] \lambda [/mm] eingesetzt:
[mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\lambda*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+\mu*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] =>\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+(\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}*\mu)*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+\mu*\vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm]
Als Ergebnis komme ich dann auf
[mm] g_{ES}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\mu*\vektor{3 \\ 2 \\ 1,5}
[/mm]
Kann mir bitte jemand sagen, ob das Ergebnis richtig ist, oder ob ich eklatante Fehler gemacht habe?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Do 22.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
> [mm]=>\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+(\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}*\mu)*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+\mu*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
Bis hierher konnte ich keinen Fehler entdecken. Dann fasst Du falsch zusammen. Es gilt:
[mm] $$\left(\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}*\mu\right)*\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+\bruch{1}{4}*\mu*\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0.5 \\ 0 \\ 0.25}+\mu*\vektor{0.5 \\ 0 \\ 0.25}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar ,
Danke für deine Antwort... Dieses Forum ist wirklich meine letzte Rettung.
> Bis hierher konnte ich keinen Fehler entdecken.
Das erfreut mich schon mal sehr!
> Dann fasst Du falsch zusammen.
Ich bin ehrlich: das habe ich mir fast gedacht, wegen den Brüchen...
Es gilt:
> [mm]\left(\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}*\mu\right)*\vektor{2 \\ 0 \\ 1} \ = \ \bruch{1}{4}*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+\bruch{1}{4}*\mu*\vektor{2 \\ 0 \\ 1} \ = \ \vektor{0.5 \\ 0 \\ 0.25}+\mu*\vektor{0.5 \\ 0 \\ 0.25}[/mm]
Okay, ich rechne mal weiter:
[mm] =\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\vektor{0,5 \\ 0 \\ 0,25}+\vektor{0,5 \\ 0 \\ 0,25}*\mu+\mu*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] =\vektor{1,5 \\ 1 \\ 1,25}+\mu[\vektor{0,5 \\ 0 \\ 0,25}+\vektor{2 \\ 2 \\ 1}]
[/mm]
=> [mm] \vektor{1,5 \\ 1 \\ 1,25}+\mu*\vektor{2,5 \\ 2 \\ 1,25}
[/mm]
Jetzt alles richtig gerechnet?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:26 Do 22.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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