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Lage Gerade-Gerade: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 15:51 Di 30.12.2008
Autor: Tyskie84

Aufgabe
Untersuche Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.

a) [mm] \\g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}+r\cdot\vektor{3 \\ 4 \\ 0}, \\h:\vec{x}=\vektor{5 \\ 6 \\ 1}+s\cdot\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

b) [mm] \\g:\vec{x}=\vektor{7 \\ 1 \\ 0}+r\cdot\vektor{2 \\ -4 \\ 6}, \\h:\vec{x}=\vektor{8 \\ -1 \\ 3}+s\cdot\vektor{-1 \\ 2 \\ -3} [/mm]

c) [mm] \\g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 5 \\ 7}+r\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ -4}, \\h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 5 \\ 1}+s\cdot\vektor{-4 \\ -2 \\ 8} [/mm]

Quelle: Lineare Algebra und analytische Geometrie

        
Bezug
Lage Gerade-Gerade: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Sa 25.04.2009
Autor: Schachschorsch56

Bei der Untersuchung der gegenseitigen Lage zweier Geraden g und h gibt es vier Möglichkeiten:
1. g und h sind parallel
2. g und h sind parallel und identisch
3. g und h schneiden sich in einem Punkt S
4. g und h schneiden sich nicht und sind windschief

[mm] a)\\g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}+r\cdot\vektor{3 \\ 4 \\ 0}, \\h:\vec{x}=\vektor{5 \\ 6 \\ 1}+s\cdot\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

a)1. Sind die Richtungsvektoren kollinear ? Es muesste gelten: [mm] r\cdot\vektor{3 \\ 4 \\ 0}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm]
ich schreibe die Daten als lineare Gleichungen:

I 3r =-1
II 4r=1
III 0r=1 Wie man schnell erkennt, gibt es kein r, dass die 3 Gleichungen erfüllt. Damit ist bewiesen, das g und h nicht parallel und damit auch nicht identisch sind.

a)3. Gibt es einen Schnittpunkt ? Es müsste [mm] gelten:Schnittpunktsvektor=\vec{S}=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}+r\cdot\vektor{3 \\ 4 \\ 0}=\vektor{5 \\ 6 \\ 1}+s\cdot\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

Als LGS (=lineares Gleichungssystem) geschrieben:

I 1 + 3r = 5 - s
II 0 + 4r = 6 + s
III 3 = 1 + s [mm] \Rightarrow [/mm] s=2 setze s=2 in I und II ein:

I 1 + 3r = 5 - 2 [mm] \Rightarrow r=\bruch{2}{3} [/mm]
II 4r = 6 + 2 [mm] \Rightarrow [/mm] r=2

da dies ein Widerspruch W! ist, gibt es zwischen g und h keinen Schnittpunkt.

Damit sind g und h windschief !

[mm] b)\\g:\vec{x}=\vektor{7 \\ 1 \\ 0}+r\cdot\vektor{2 \\ -4 \\ 6}, \\h:\vec{x}=\vektor{8 \\ -1 \\ 3}+s\cdot\vektor{-1 \\ 2 \\ -3} [/mm]

b)1. gilt [mm] r\cdot\vektor{2 \\ -4 \\ 6}=\vektor{-1 \\ 2 \\ -3} [/mm] ?

I 2r = -1 [mm] \Rightarrow r=-\bruch{1}{2} [/mm]
II -4r = 2 [mm] \Rightarrow r=-\bruch{1}{2} [/mm]
III 6r = -3 [mm] \Rightarrow r=-\bruch{1}{2} [/mm] stimmt überein, damit sind g und h parallel !

b)2. Sind g und h sogar identisch ? Wenn ja, müsste gelten: [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + [mm] r*\vec{a} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OC} [/mm] (=Ortsvektor der 2.Gerade) in diesem Fall hieße die zu erfüllende Gleichung so:

[mm] \vektor{7 \\ 1 \\ 0}+r\cdot\vektor{2 \\ -4 \\ 6}=\vektor{8 \\ -1 \\ 3} [/mm]

als LGS:

I 7 +2r = 8
II 1 -4r = -1
III 0 +6r = 3 ergibt dies für alle [mm] r=\bruch{1}{2}, [/mm] damit sind g und h auch identisch !

[mm] c)\\g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 5 \\ 7}+r\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ -4}, \\h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 5 \\ 1}+s\cdot\vektor{-4 \\ -2 \\ 8} [/mm]

c)1. g und h kollinear ?

Ja, da [mm] r\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ -4}=\vektor{-4 \\ -2 \\ 8} [/mm] mit r=-2

c)2. g und h identisch ?

nein ! da [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 7}+r\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ -4}=\vektor{1 \\ 5 \\ 1} [/mm] durch kein r erfüllt wird (für r gibt es 3 verschiedene Werte: -0.5, 0 und [mm] \bruch{3}{2} [/mm]

Da g und h parallel sind, kann es keinen Schnittpunkt geben ! Zudem können g und h auch nicht windschief sein !

Schorsch



Bezug
                
Bezug
Lage Gerade-Gerade: alles richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 So 26.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Schorsch!


[daumenhoch] Alles okay!


Gruß
Loddar


Bezug
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