Länge einer Kurve < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:15 Do 21.10.2010 | | Autor: | fagottator |
| Aufgabe | Sei c : (0,1) [mm] \to \IR^2 [/mm] die folgende parametrisierte Kurve
c(t) := [mm] \vektor{t \\ t\cdot sin(\bruch{\pi}{t})}
[/mm]
a) Skizzieren Sie die Spur von c.
b) Sei [mm] l_n [/mm] die Länge von [mm] c|_[\bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n}]. [/mm] Zeigen Sie: [mm] l_n \ge \bruch{1}{n+\bruch{1}{2}}.
[/mm]
c) Zeigen Sie, dass c unendliche Länge hat. |
Hallo zusammen!
Ich komme bei der Aufgabe nicht so recht weiter...
zu b): [mm] L(l_n) [/mm] = [mm] \integral_{\bruch{1}{n+1}}^{\bruch{1}{n}}{||c'(t)|| dt}
[/mm]
c'(t) = (1 , [mm] sin(\bruch{\pi}{t}) [/mm] - t [mm] \cdot cos(\bruch{\pi}{t}) \cdot \bruch{\pi}{t^2}) [/mm] = (1 , [mm] sin(\bruch{\pi}{t}) [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{t} \cdot cos(\bruch{\pi}{t}))
[/mm]
||c'(t)|| = [mm] \wurzel{1 + (sin(\bruch{\pi}{t}) - \bruch{\pi}{t} \cdot cos(\bruch{\pi}{t}))^2} [/mm] = [mm] \wurzel{1 + sin^2(\bruch{\pi}{t}) - \bruch{2\pi}{t} \cdot sin(\bruch{\pi}{t})cos(\bruch{\pi}{t}) + \bruch{\pi^2}{t^2} \cdot cos^2(\bruch{\pi}{t})}
[/mm]
Da ich diese Wurzel ja noch integrieren muss, würde ich den Ausdruck gern vereinfachen, aber ich weiß nicht wie. Oder habe ich bis hierhin eh schon einen Fehler gemacht?
LG
fagottator
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Do 21.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Berechnung von [mm] l_n [/mm] ist doch gar nicht verlangt, sondern nur die Abschätzung.
Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Gerade !
Gruß Sax.
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Hi Sax,
> die Berechnung von [mm]l_n[/mm] ist doch gar nicht verlangt, sondern
> nur die Abschätzung.
Aber wenn ich keinen Plan habe, wie [mm] l_n [/mm] aussieht, kann ich ja nur schlecht abschätzen... Außerdem kommt bei der Berechnung eh kein genauer Wert, sondern ein von n abhängiger heraus.
> Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine
> Gerade !
Den Kommentar versteh ich leider in diesem Zusammenhang nicht. Was für Punkte meinst du?
Lg
fagottator
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Do 21.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich meinte so was in der Art :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ok, und der Graph ist jetzt die Spur von c, oder wie (ich hab das Ding noch nicht skizziert)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Do 21.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo fagottator
Die Aufgabe wurde schon aml gestellt. Siehe mein Tipp hier.
mfG Moudi
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Mir ist mittlerweile schon klar, dass der Streckenzug, der sich ergibt, wenn ich die "Eckpunkte" verbinde kürzer ist, als die Bogenlänge über dem Intervall. Ich kann nur keinen Bezug zwischen diesem Streckenzug und dem Wert [mm] \bruch{1}{n+\bruch{1}{2}} [/mm] herstellen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Fr 22.10.2010 | | Autor: | moudi |
Da bleibt nichts anderes uebrig als zu rechnen. Mit den Punkten [mm] $P_1(\frac1n,0)$, $P_2(\frac1{n+\frac12},\pm\frac1{n+\frac12})$ [/mm] und [mm] $P_3(\frac1{n+1},0)$ [/mm] ergibt sich
[mm] $P_1P_2=\frac{\sqrt{4n^2+1}}{2n^2+n}=\frac1{n+\frac12}\cdot\frac{\sqrt{4n^2+1}}{2n}>\frac1{n+\frac12}$, [/mm] da der zweite Faktor >1 ist.
Damit ist die Behauptung eigentlich schon gezeigt.
Nichtsdestotrotz berechnet man noch die Laenge
[mm] $P_2P_3=\frac{\sqrt{4n^2+8n+5}}{2n^2+3n+1}=\frac1{n+\frac12}\cdot\frac{\sqrt{4n^2+8n+5}}{2n+2}>\frac1{n+\frac12}$, [/mm] wiederum ist der zweite Faktor >1, da [mm] $4n^2+8n+5=(2n+2)^2+1$.
[/mm]
Damit ist sogar gezeigt, dass [mm] $l_n>\frac{2}{n+\frac12}$.
[/mm]
mfG Moudi
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