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| Aufgabe | Es sei:
[mm] \gamma:\IR \to \IR^2 [/mm] , t [mm] \mapsto [/mm] (exp(t)cos(2 [mm] \pi [/mm] t), exp(t) sin((2 [mm] \pi [/mm] t)).
a) Berechne für reelle Zahlen a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b die Länge L( [mm] \gamma|[a,b]) [/mm] |
also ich habe dafür f´(t) berechnet
f´(t)= (exp(t) cos(2 [mm] \pi [/mm] t)- 2 [mm] \pi [/mm] exp(t) sin((2 [mm] \pi [/mm] t), (exp(t) sin(2 [mm] \pi [/mm] t)+2 [mm] \pi [/mm] exp(t) cos(2 [mm] \pi [/mm] t))
und dann in die Form
L( [mm] \gamma|[a,b]) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{ \parallel f´ (t) \parallel dt}
[/mm]
eingesetzt
= [mm] \integral_{a}^{b} \wurzel{ ((exp(t) cos(2 \pi t)- 2 \pi exp(t) sin((2 \pi t))^2 +( (exp(t) sin(2 \pi t)+2 \pi exp(t) cos(2 \pi t))^2} [/mm] dt
kann es sein, dass ich dann am Ende nur noch
= [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] exp(t) [mm] \wurzel{4 \pi ^2 +1}
[/mm]
habe?
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Abend,
> Es sei:
> [mm]\gamma:\IR \to \IR^2[/mm] , t [mm]\mapsto[/mm] (exp(t)cos(2 [mm]\pi[/mm] t),
> exp(t) sin((2 [mm]\pi[/mm] t)).
> a) Berechne für reelle Zahlen a,b [mm]\in \IR[/mm] mit a < b die
> Länge L( [mm]\gamma|[a,b])[/mm]
> also ich habe dafür f´(t) berechnet
> f´(t)= (exp(t) cos(2 [mm]\pi[/mm] t)- 2 [mm]\pi[/mm] exp(t) sin((2 [mm]\pi[/mm] t),
> (exp(t) sin(2 [mm]\pi[/mm] t)+2 [mm]\pi[/mm] exp(t) cos(2 [mm]\pi[/mm] t))
>
> und dann in die Form
> L( [mm]\gamma|[a,b])[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{ \parallel f´ (t) \parallel dt}[/mm]
>
> eingesetzt
>
> = [mm]\integral_{a}^{b} \wurzel{ ((exp(t) cos(2 \pi t)- 2 \pi exp(t) sin((2 \pi t))^2 +( (exp(t) sin(2 \pi t)+2 \pi exp(t) cos(2 \pi t))^2}[/mm]
> dt
>
> kann es sein, dass ich dann am Ende nur noch
>
> = [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] exp(t) [mm]\wurzel{4 \pi ^2 +1}[/mm]
> habe?
Jupp, so ist es auch.
Jetzt nur noch das Ergebnis hinschreiben und fertig biste.
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Das Ergebnis ist dann:
[mm] \wurzel{4 \pi ^2 +1} [/mm] (exp(b) - exp(a))
Ich habe noch eine Frage zum Grenzwert:
[mm] \limes_{a\rightarrow -\infty}(L(\gamma|[a,b]) [/mm] = [mm] \wurzel{4 \pi ^2 +1}, [/mm] weil
der Grenzwert von exp(a) für a [mm] \rightarrow -\infty [/mm] = 0 ist
stimmt das?
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Hey,
> Das Ergebnis ist dann:
>
> [mm]\wurzel{4 \pi ^2 +1}[/mm] (exp(b) - exp(a))
Joa, das stimmt.
>
> Ich habe noch eine Frage zum Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow -\infty}(L(\gamma|[a,b])[/mm] = [mm]\wurzel{4 \pi ^2 +1},[/mm]
> weil
> der Grenzwert von exp(a) für a [mm]\rightarrow -\infty[/mm] = 0
> ist
>
> stimmt das?
Noch einmal ordentlich aufgeschrieben
[mm] \limes_{a\to -\infty}\wurzel{4 \pi ^2 +1}(\exp(b)-\exp(a))=\wurzel{4 \pi ^2 +1}\exp(b)
[/mm]
Ergebnis stimmt.
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wie kann ich mir eine skizze für diese kurve vorstellen
für a=-1 und b=1 ?
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Servus,
Das ist die Grafik für [mm] t\in[-1,1]
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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