L'Hospital bei Sinus und Cos < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Selageth |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x \rightarrow 0} \bruch{x^3 + 2x^4}{(1-cos(x)) * sin(x)} [/mm] |
Hallo zusammen.
Hier muss man offensichtlich den Satz von L'Hospital anwenden, aber an folgender Stelle komme ich nicht weiter:
f'(x) = [mm] 3x^2 [/mm] + [mm] 8x^3
[/mm]
g'(x) = [mm] sin^2(x) [/mm] + cos(x) - [mm] cos^2(x)
[/mm]
also:
[mm] \limes_{x \rightarrow 0} \bruch{f(x)}{g(x)}
[/mm]
Das Ergebnis soll glatt 2 sein. Ich verstehe nicht wie man darauf kommen kann. Sieht hier jemand eher durch als ich? 
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Hallo Selageth!
Du kannst hier den Term auseinander ziehen und die Terme einzeln betrachten (warum?):
[mm] $$\limes_{x \rightarrow 0} \bruch{x^3 + 2x^4}{\left[1-\cos(x)\right] * \sin(x)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x \rightarrow 0} \bruch{x*\left(x^2 + 2x^3\right)}{\left[1-\cos(x)\right] * \sin(x)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x \rightarrow 0}\left[ \bruch{x^2 + 2x^3}{1-\cos(x)} *\bruch{x}{ \sin(x)}\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{x^2 + 2x^3}{1-\cos(x)}* \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{x}{ \sin(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{ \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{x^2 + 2x^3}{1-\cos(x)}}{\limes_{x \rightarrow 0}\bruch{ \sin(x)}{x}} [/mm] \ = \ ...$$
Und der Grenzwert im Nenner sollte auch bekannt sein.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Selageth |
Ahh. Clever.
Gut, ich verstehe die Umformungen, damit lässt sich von [mm] \bruch{x}{sin(x)} [/mm] ja auf [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] kommen und der Grenzwert von x gegen 0 davon ist ja bekanntlich = 1.
Also würde ich nur noch den Teil oberhalb des Doppelbruches betrachten. Hier steht jedoch wieder 0/0, also mit L'Hospital ran. Korrekt?
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Hallo Selageth!
Genau so geht es!
Gruß vom
Roadrunner
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