L'Hospital angewendet < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich möchte nur wissen, ob die Lösung richtig ist und ich L'Hospital verstanden habe. 
Aufgabe: [mm]\limes_{x\searrow 0} \bruch{x^2 \cdot ln x}{sin x}[/mm]
Zähler und Nenner des Quotienten werden für [mm]x_0 = 0[/mm] Null.
[mm]\left (\bruch{x^2 \cdot ln x}{sin x} \right)' = \bruch{2x \cdot \bruch{1}{x} \cdot sinx - x^2 \cdot lnx \cdot cosx}{sin^2 x}[/mm]
Für [mm]x_0[/mm]:
[mm]\bruch{2x_0 \cdot \bruch{1}{x_0} \cdot sinx_0 - x_0^2 \cdot lnx_0 \cdot cosx_0}{sin^2 x_0} = 0[/mm], woraus folgt [mm]\limes_{x\searrow 0} \bruch{x^2 \cdot ln x}{sin x} = 0[/mm].
Richtig?
(Danke schon einmal im Voraus.)
|
|
| |
|
Hiho,
wieso bei [mm]\limes_{x\searrow 0} \bruch{x^2 \cdot ln x}{sin x}[/mm]
der Zähler gegen 0 geht, ist nicht jedem sofort ganz klar, daher solltest du das vllt. auch noch zeigen.
Die Idee, die hinter l'Hospital steht, hast du anscheinend verstanden, nur WIE du das anwendest noch nicht.
Bei l'Hospital leitest du nicht den ganzen Bruch ab, sondern Zähler und Nenner werden einzeln abgeleitet, d.h.
Es stimmt NICHT: [mm] \limes_{x\searrow 0}\bruch{x^2*lnx}{sinx} [/mm] = [mm] \limes_{x\searrow 0}(\bruch{x^2*lnx}{sinx})'
[/mm]
sondern:
[mm] \limes_{x\searrow 0}\bruch{x^2*lnx}{sinx} [/mm] = [mm] \limes_{x\searrow 0}\bruch{(x^2*lnx)'}{(sinx)'}
[/mm]
Und nun versuchs mal nochmal
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo Gonozal,
mensch, das hätte mir auffallen müssen. Das kommt davon, wenn man denkt, alles im Kopf zu haben.
Demnach ist [mm]\limes_{x\searrow 0} \bruch{x^2 \cdot ln x}{sin x} = \bruch{(x^2 \cdot ln x)'}{(sin x)'} = \bruch{2x_0 \cdot \bruch{1}{x_0}}{cos x_0} = \bruch{0}{1} = 0[/mm]. Stimmt's?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Fr 22.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
das Ergebnis ist richtig,
aber die Ableitung funktioniert nach der  Produktregel <-- click it
[mm] [x^2*ln(x)]'=2x*ln(x)+x
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Fr 22.09.2006 | | Autor: | DrRobotnik |
> Hallo,
Hallo Herby,
> aber die Ableitung funktioniert nach der Produktregel
Recht hast natürlich.
Ich werd's nie lernen. :-/ Irgendwas ist immer.
Danke!
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Fr 22.09.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Jo,
nur das du aufgrund der Produktregel eben nochmal l'Hospital anwenden musst, weil du [mm]2x*lnx[/mm] eben auch nur durch l'Hospital berechnen kannst.
D.h. du musst mindestens 2 mal l'Hospital anwenden um auf das Ergebnis zu kommen.
|
|
|
| |
|
> nur das du aufgrund der Produktregel eben nochmal
> l'Hospital anwenden musst, weil du [mm]2x*lnx[/mm] eben auch nur
> durch l'Hospital berechnen kannst.
Ist mir nicht ganz klar.
Einmal L'Hospital angewendet ergibt doch:
[mm]\limes_{x\searrow 0} \bruch{x^2 \cdot ln x}{sin x} = \bruch{(x^2 \cdot ln x)'}{(sin x)'} = \bruch{2x \cdot ln x + x}{cos x}[/mm]. Darf ich denn jetzt noch nicht [mm]x_0[/mm] einsetzen?
Weil dann würde rauskommen: [mm]\bruch{2\cdot 0 \cdot ln 0 + 0}{cos 0} = \bruch{0}{1} = 0[/mm].
> D.h. du musst mindestens 2 mal l'Hospital anwenden um auf
> das Ergebnis zu kommen.
Wenn ich noch einmal L'Hospital anwende, komme ich auf [mm]\bruch{2 \cdot ln x + x + 1}{-sinx}[/mm]. Oder habe ich das falsch verstanden?
:-?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Fr 22.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
ich sehe das nicht so, dass hier ein weiteres Mal die Regel angewendet werden muss, da erstens: in beiden Fällen der Zähler Null ist und zweitens: ein unbestimmter Ausdruck gar nicht vorliegt, der Nenner ist nun 1.
Auch ist [mm] 0*\infty=0
[/mm]
Kann mich aber auch täuschen. Meine Rechenmaschine bestätigt übrigens den Grenzwert 0.
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Fr 22.09.2006 | | Autor: | DrRobotnik |
Eine weitere Anwendung von L'Hospital macht man m.E. nur, wenn [mm]x_0[/mm] nicht klar ersichtlich ist, wie bei [mm]\limes_{x\searrow 0} \bruch{x - 2sin \bruch{x}{2}}{x - sin x}[/mm].
Bin mir da aber auch nicht sicher.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Fr 22.09.2006 | | Autor: | Herby |
kommt nicht 0 sondern
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] raus ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
lg
Herby
|
|
|
|
