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| Aufgabe | Betimmen sie die Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{log x}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{1+log (x+1)}{log(x+1)}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}\bruch{log (1+x^{3})}{\wurzel{x}}
[/mm]
d) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} {\bruch{1-cos {\bruch{x}{4}}
}{1-cos x}} [/mm] |
Also ich hab es versucht die ersten zwei liefen ganz gut, aber bei den letzten zwei bin ich i-wie verwirrt
Also:
[mm] a)\limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{log x}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
f(x) := log x, f´(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
g(x):= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] , g´(x)= [mm] -\bruch{1}{x^{2}} [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{f´(x)}{g´(x)}= \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{x^{2}}}= \limes_{x\rightarrow 0+} [/mm] (-x) existiert und =0
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] (1+log(x+1))=1; [mm] \limes_{x\rightarrow 0+} [/mm] log (x+1)= [mm] o+\Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{1+log(x+1)}{log(x+1)}=\rightarrow [/mm] + [mm] \infty
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} [/mm]
f(x)= log [mm] (1+x^{3}); [/mm]
g(x)= [mm] \wurzel{x}
[/mm]
Ich komme einfach nicht weiter ich weiss nicht genau was ich machen
soll wegen dem [mm] \infty
[/mm]
d) f(x)= 1-cos [mm] \bruch{x}{4}; [/mm] f(0)= 1-cos(0)=1-1=0
g(x)=1-cos(x) ; f(0)= 1-cos(0)=1-1= 0
f´(x)= sin [mm] \bruch{x}{4}*\bruch{4}{16}; [/mm] f(0)= sin [mm] \bruch{0}{4}*\bruch{4}{16}= \bruch{4}{16}
[/mm]
g´(x)= sin x ; g´(x)= sin 0
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} {\bruch{1-cos {\bruch{x}{4}}
}{1-cos x}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{4}{16}}{0} [/mm] Aber hier muss doch dann ein Fehler sein denn man darf doch nicht durch null teile
Also bei den zwei letzten habe ich das Gefühl dass ich einen Brett vorm Kopf habe, wäre echt schön wenn ihr mir helfen könntet, dankeeee
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Juicy-Fruit und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Betimmen sie die Grenzwerte:
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> a) [mm]\limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{log x}{\bruch{1}{x}}[/mm]
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> b) [mm]\limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{1+log (x+1)}{log(x+1)}[/mm]
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> c) [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty}\bruch{log (1+x^{3})}{\wurzel{x}}[/mm]
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> d) [mm]\limes_{x\rightarrow 0} {\bruch{1-cos {\bruch{x}{4}} }{1-cos x}}[/mm]
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> Also ich hab es versucht die ersten zwei liefen ganz gut,
> aber bei den letzten zwei bin ich i-wie verwirrt
> Also:
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> [mm]a)\limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{log x}{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> f(x) := log x, f´(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> g(x):= [mm]\bruch{1}{x}[/mm] , g´(x)= [mm]-\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{f´(x)}{g´(x)}= \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{x^{2}}}= \limes_{x\rightarrow 0+}[/mm] (-x) existiert und =0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> b) [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] (1+log(x+1))=1;
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}[/mm] log (x+1)= [mm]o+\Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{1+log(x+1)}{log(x+1)}=\rightarrow[/mm] + [mm]\infty[/mm]
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> c) [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty}[/mm]
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> f(x)= log [mm](1+x^{3});[/mm]
>
> g(x)= [mm]\wurzel{x}[/mm]
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> Ich komme einfach nicht weiter ich weiss nicht genau was
> ich machen
> soll wegen dem [mm]\infty[/mm]
Zähler und Nenner gehen beide gegen [mm]\infty[/mm], du hast also bei deirektem Grenzübergang einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm]
Damit kannst du de l'Hôpital anwenden.
Leite Zähler und Nenner getrennt ab ...
Dann siehst du, wogegen das Ding strebt für [mm]x\to\infty[/mm]
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> d) f(x)= 1-cos [mm]\bruch{x}{4};[/mm] f(0)= 1-cos(0)=1-1=0
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> g(x)=1-cos(x) ; fg(0)= 1-cos(0)=1-1= 0
>
> f´(x)= sin [mm]\bruch{x}{4}*\bruch{4}{16};[/mm] f'(0)= sin [mm]\red{(x)}[/mm]
> [mm]\bruch{0}{4}*\bruch{4}{16}= \bruch{4}{16}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das gibt doch 0 !!
Du hast nach dem getrennten Ableiten [mm]\frac{\frac{1}{4}\cdot{}\sin\left(\frac{x}{4}\right)}{\sin(x)}[/mm]; und das geht für [mm]x\to 0[/mm] gegen [mm]\frac{\frac{1}{4}\cdot{}0}{0}=\frac{0}{0}[/mm]
>
> g´(x)= sin x ; g´(x)= sin 0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} {\bruch{1-cos {\bruch{x}{4}} }{1-cos x}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\bruch{4}{16}}{0}[/mm] Aber hier muss doch dann ein
> Fehler sein denn man darf doch nicht durch null teile
Ja, es kommt nach der ersten Anwendung von de l'Hôpital wieder [mm]\frac{0}{0}[/mm] heraus (siehe oben)
Also nochmal de l'Hôpital anwenden, dann kommst du auf den GW
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>
> Also bei den zwei letzten habe ich das Gefühl dass ich
> einen Brett vorm Kopf habe, wäre echt schön wenn ihr mir
> helfen könntet, dankeeee
Jo, gerne
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
schachuzipus
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Stimmmmmmtttt, ich könnte gerade gegen die Wand rennen...Vielen dank noch mal schachuzipus
Lg
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