LGS (nicht quadratisch) lösen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mo 17.01.2011 | | Autor: | thiele |
| Aufgabe | Geben sie die Lösungsmengen folgender linearer Gleichungssysteme
[mm] x_{1}+x_{2}+3x_{3}-x_{4}+0x_{5}+2x_{6} [/mm] = [mm] b_{1}
[/mm]
[mm] x_{1}+2x_{2}+5x_{3}-x_{4}+0x_{5}+x_{6} [/mm] = [mm] b_{2}
[/mm]
[mm] 2x_{1}+3x_{2}+8x_{3}-2x_{4}-1x_{5}+2x_{6} [/mm] = [mm] b_{3}
[/mm]
[mm] -2x_{1}-2x_{2}-6x_{3}+2x_{4}+4x_{5}+0x_{6} [/mm] = [mm] b_{4}
[/mm]
über R jeweils mit den Vektoren ( 0 0 0 0), (3 4 7 -6) und (-1 2 0 2) an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab die Matrix jetzt auf Zeilenstufenform gebracht und bin soweit gekommen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 3 & -1 & 0 & 2 & | & b1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & -1 & | & b2-b1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & | & (b3-2b1)-(b2-b1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & | & b4+2b1 }
[/mm]
Wie muss ich jetzt weitermachen um das ganze lösen zu können? b1-b4 sind ja gegeben
Ich weiss dass man irgendwie einen Parameter setzen kann (zB [mm] x_{6} [/mm] = t) und dann [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{5} [/mm] lösen kann mit t in der Gleichung, aber das bringt mir doch nichts, oder? (Sind ja immernoch mindestens zwei Unbekannte in der Gleichung dann, nämlich x und das t, keine konkreten Werte)
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> Geben sie die Lösungsmengen folgender linearer
> Gleichungssysteme
> [mm]x_{1}+x_{2}+3x_{3}-x_{4}+0x_{5}+2x_{6}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm]
> [mm]x_{1}+2x_{2}+5x_{3}-x_{4}+0x_{5}+x_{6}[/mm] = [mm]b_{2}[/mm]
> [mm]2x_{1}+3x_{2}+8x_{3}-2x_{4}-1x_{5}+2x_{6}[/mm] = [mm]b_{3}[/mm]
> [mm]-2x_{1}-2x_{2}-6x_{3}+2x_{4}+4x_{5}+0x_{6}[/mm] = [mm]b_{4}[/mm]
>
> über R jeweils mit den Vektoren ( 0 0 0 0), (3 4 7 -6) und
> (-1 2 0 2) an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich hab die Matrix jetzt auf Zeilenstufenform gebracht und
> bin soweit gekommen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 3 & -1 & 0 & 2 & | & b1 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 0 & -1 & | & b2-b1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & | & (b3-2b1)-(b2-b1) \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & | & b4+2b1 }[/mm]
So kurz vor dem Ziel.
Nein das ist nicht die Zeilenstufenform. Die letzte und vorletzte Zeile sind noch lin.abh. auf der linken Seite
[mm] \left( \begin {array}{cccccc|c} 1&1&3&-1&0&2&{\it b1}
\\
0&1&2&0&0&-1&{\it b2}-{\it b1}
\\
0&0&0&0&-1&-1&{\it b3}-{\it b1}-{\it b2}
\\
0&0&0&0&0&0&{\it b4}-2\,{\it b1}+4\,{\it b3}-4\,{
\it b2}\end {array} \right)
[/mm]
>
> Wie muss ich jetzt weitermachen um das ganze lösen zu
> können? b1-b4 sind ja gegeben
>
> Ich weiss dass man irgendwie einen Parameter setzen kann
> (zB [mm]x_{6}[/mm] = t) und dann [mm]x_{1}[/mm] bis [mm]x_{5}[/mm] lösen kann mit t
> in der Gleichung, aber das bringt mir doch nichts, oder?
Dann ist es wahrscheinlich für dich einfach gleich die [mm] $b_i$ [/mm] zu besetzen. Du hast ja in der Aufgabe konkrete Werte angegeben.
> (Sind ja immernoch mindestens zwei Unbekannte in der
> Gleichung dann, nämlich x und das t, keine konkreten
> Werte)
Wie viele freie Variablen erkennst du. Es ist ja nicht nur [mm] $x_6$ [/mm] eine freie Variable.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 17.01.2011 | | Autor: | thiele |
hmmm freie variablen sind ja x1 bis x6.
ich weiss einfach nicht, wie ich eine lösung finden kann. meinetwegen ist b1 bis b4 (0 0 0 0), dann würde ich schliessen, dass x6=0 und x5=0, den Rest kann man dann nichtmehr erkennen.
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Da [mm]b_i= 0[/mm] der eifnache Fall ist, mache ich ihn dir vor:
[mm] \left( \begin {array}{cccccc|c} 1&1&3&-1&0&2&{0} \\
0&1&2&0&0&-1&0\\
0&0&0&0&-1&-1&0 \\
0&0&0&0&0&0&0\end {array} \right) [/mm]
setze [mm]x_6=:s[/mm] Dann
[mm]x_5=-x_6=-s[/mm]
setze [mm]x_3=:t[/mm]. Dann [mm]x_2=-2x_3+x_6=-2t+s[/mm] und setze [mm]x_4=:r[/mm], so ist auch
[mm]x_1=-x_2-3x_3+x_4-2x_6=-(-2t+s)-3(t)+r-2s[/mm]
Lösung
[mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5\\
x_6}=\vektor{2t-s-3t+r-2s\\
-2t+s\\
t\\
r\\
-s\\
s}=\vektor{-t+r-3s\\
-2t+s\\
t\\
r\\
-s\\
s}=t*\vektor{-1\\
-2\\
1\\
0\\
0\\
0}+s*\vektor{-3\\
1\\
0\\
0\\
-1\\
1}+r*\vektor{1\\
0\\
0\\
1\\
0\\
0}[/mm]
hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 17.01.2011 | | Autor: | thiele |
okay, was du gemacht hast kann ich nachvollziehen.
ich hätte nur irgendwie ein ergebnis in form eines vektors oder so erwartet. ich weiss leider nicht, was man mit so einem ergebnis jetzt anfangen kann.
in der aufgabe ist ja nach der lösungsmenge gefragt. ist die lösungsmenge nun mit sämltichen [mm] t,s,r\in\IR [/mm] ?
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Hallo thiele,
> okay, was du gemacht hast kann ich nachvollziehen.
> ich hätte nur irgendwie ein ergebnis in form eines vektors
> oder so erwartet. ich weiss leider nicht, was man mit so
> einem ergebnis jetzt anfangen kann.
> in der aufgabe ist ja nach der lösungsmenge gefragt. ist
> die lösungsmenge nun mit sämltichen [mm]t,s,r\in\IR[/mm] ?
Ja, die Lösung kannst Du so angeben, wie wieschoo vorgerechnet hat. Sie ist halt mit drei Parametern behaftet.
Interessanter wird die Frage aber bei den beiden anderen gegebenen Vektoren. Gerade die letzte weggefallene Zeile (also wieschoos erste Korrektur zur ZNF) ist da u.U. informativ.
Grüße
reverend
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