LGS mit zusätzlicher Variable < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 So 07.12.2008 | | Autor: | alek88 |
| Aufgabe | Für eine reelle Zahl [mm] \alpha [/mm] sei das Gleichungssystem:
1*x1 + 2*x2 + [mm] \alpha*x3 [/mm] = 1
3*x1 + 6*x2 + 1*x3 = [mm] \alpha
[/mm]
2*x1 + 4*x2 + 2*x3 = 2
gegeben.
Untersuchen Sie, für welche Werte von alpha das Gleichungssystem lösbar ist und geben Sie die entsprechenden Lösungsmengen an. |
Also habe zunächst versucht das trotz der vierten Unbekannten mit Gauß zu lösen. Dabei habe ich folgende Lösungen:
x1 = [mm] 1/2\alpha [/mm] + 5,5
x2 = -2,5
x3 = [mm] -\alpha/2 [/mm] + 0,5
ich kann jetzt für [mm] \alpha [/mm] beliebig viele werte einsetzen, bekomme aber dann, eingesetzt in die Ursprungsgleichungen egal was ich für alpha setze immer nur 2 von den 3 Gleichungen richtig raus.. weiß nicht weiter jetzt.. Wäre unendlich dankbar für möglich Hilfen..
MfG Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, alek,
> Für eine reelle Zahl [mm]\alpha[/mm] sei das Gleichungssystem:
>
> 1*x1 + 2*x2 + [mm]\alpha*x3[/mm] = 1
> 3*x1 + 6*x2 + 1*x3 = [mm]\alpha[/mm]
> 2*x1 + 4*x2 + 2*x3 = 2
>
> gegeben.
> Untersuchen Sie, für welche Werte von alpha das
> Gleichungssystem lösbar ist und geben Sie die
> entsprechenden Lösungsmengen an.
> Also habe zunächst versucht das trotz der vierten
> Unbekannten mit Gauß zu lösen. Dabei habe ich folgende
> Lösungen:
>
> x1 = [mm]1/2\alpha[/mm] + 5,5
>
> x2 = -2,5
>
> x3 = [mm]-\alpha/2[/mm] + 0,5
>
> ich kann jetzt für [mm]\alpha[/mm] beliebig viele werte einsetzen,
> bekomme aber dann, eingesetzt in die Ursprungsgleichungen
> egal was ich für alpha setze immer nur 2 von den 3
> Gleichungen richtig raus.. weiß nicht weiter jetzt.. Wäre
> unendlich dankbar für möglich Hilfen..
Also: Wenn ich das LGS mit Gauss umforme, erhalte ich erst mal:
Das LGS hat für kein einziges [mm] \alpha [/mm] eine EINDEUTIGE Lösung.
Weiterhin ergibt sich bei meiner Rechnung:
Für [mm] \alpha [/mm] = 1 sowie für [mm] \alpha [/mm] =3 hat das LGS jeweils unendlich viele Lösungen.
In allen anderen Fällen ist die Lösungsmenge leer.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 07.12.2008 | | Autor: | alek88 |
| Aufgabe | > Für eine reelle Zahl $ [mm] \alpha [/mm] $ sei das Gleichungssystem:
>
> 1*x1 + 2*x2 + $ [mm] \alpha\cdot{}x3 [/mm] $ = 1
> 3*x1 + 6*x2 + 1*x3 = $ [mm] \alpha [/mm] $
> 2*x1 + 4*x2 + 2*x3 = 2
>
> gegeben.
> Untersuchen Sie, für welche Werte von alpha das
> Gleichungssystem lösbar ist und geben Sie die
> entsprechenden Lösungsmengen an. |
Hmm also bedeutet das, dass meine lösungen für x1,2,3 dann falsch sind?? Wie bist du denn genau vorgegangen um das heraus zu finden?
Mfg Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 So 07.12.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, alek,
> > Für eine reelle Zahl [mm]\alpha[/mm] sei das Gleichungssystem:
> >
> > 1*x1 + 2*x2 + [mm]\alpha\cdot{}x3[/mm] = 1
> > 3*x1 + 6*x2 + 1*x3 = [mm]\alpha[/mm]
> > 2*x1 + 4*x2 + 2*x3 = 2
> >
> > gegeben.
> > Untersuchen Sie, für welche Werte von alpha das
> > Gleichungssystem lösbar ist und geben Sie die
> > entsprechenden Lösungsmengen an.
> Hmm also bedeutet das, dass meine lösungen für x1,2,3 dann
> falsch sind?? Wie bist du denn genau vorgegangen um das
> heraus zu finden?
Schlaukopf! 
Zeig' Du erst mal "Deinen Gauss"!
Dann sehen wir weiter!
Im Prinzip läuft alles auf die letzten beiden Zeilen hinaus, bei denen "ziemlich viele Nullen" entstehen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 07.12.2008 | | Autor: | alek88 |
| Aufgabe | 1*x1 + 2*x2 + $ [mm] \alpha\cdot{}x3 [/mm] $ = 1
3*x1 + 6*x2 + 1*x3 = $ [mm] \alpha [/mm] $
2*x1 + 4*x2 + 2*x3 = 2 |
also ich hab total den überblick verloren weiß selbst nicht mehr wie ich da drauf gekommen bin. als ich das grad nochmal machen wollte haut das hinten und vorne nicht hin. habe das grad versucht in matrizen schreibweise zu lösen aber das funzt ja alles garnicht :-(
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Hi, alek,
also helf' ich Dir mal ein bissl.
Wie gesagt: Gauß in Matrix-Schreibweise:
1. Dividiere mal die letzte Zeile durch 2 - dann vereinfacht sich manches.
2. Dann tausche die 1. mit der 3. Zeile - damit der Parameter möglichst weit unten steht:
Je weiter unten und je weiter rechts, desto besser!
3. Nimm die erste Zeile *3 und subtrahiere die zweite: 3*I - II.
Subtrahiere die 1. Zeile von der dritten: III - I.
4. Nun hast Du bereits "eine ganze Menge Nullen".
a) Wenn Du nun [mm] \alpha [/mm] = 1 setzt, ist die ganze letzte Zeile Nullzeile (1. Fall). Es gibt dann unendlich viele Lösungen, die Du berechnen kannst/sollst.
b) Für [mm] \alpha \not= [/mm] 1 (2. Fall) ist die letzte Zeile noch keine Nullzeile.
Du subtrahierst das [mm] (\alpha-1)-Fache [/mm] der vorletzten vom Doppelten der letzten Zeile und kriegst 3 Nullen in der Koeffizientenmatrix.
In der erweiterten Koeffizientenmatrix aber steht rechts nun ein quadratischer Term in der Variablen [mm] \alpha. [/mm] Daraus ergeben/ergibt sich weitere Fälle/ein weiterer Fall.
Naja: Soweit sollte meine Hilfe Dir genügen!
mfG!
Zwerglein
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Vielen lieben Dank für deine Hilfe! -Bin halt E-Techniker, der mathematische Blick fehlt mir leider des öfteren mal 