LGS mit trivialer Lösung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] a_{1},...,a_{n},b_{1}...,b_{n} [/mm] reelle Zahlen. Es gelte [mm] a_{i} \not= b_{i} [/mm] für alle i. Zeigen Sie, dass das folgende GS nur die triviale Lösung besitzt:
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n+1} [/mm] =0
[mm] b_{1}x_{1}+a_{1}x_{2}+a_{1}x_{3}+...+a_{1}x_{n+1}=0
[/mm]
[mm] b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+a_{2}x_{3}+...+a_{2}x_{n+1}=0
[/mm]
..... .....
..... ......
[mm] b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}x_{3}+...+a_{n}x_{n+1}=0 [/mm] |
Hallo,
also ich weiß jetzt garnicht, wie ich das machen soll, und auch nicht, wie ich da anfangen soll..
Also ich soll ja zeigen, dass die triviale Lösung rauskomt, also 0. aber ich weiß nicht, wo und wie ich da anfangen kann/muss 
Könnt ihr mir bitte helfen?
Viele Grüße
Informacao
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 So 12.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo Informacao
Du musst zeigen, dass:
[mm]
\det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
b_1 & a_1 & a_1 & \ldots & a_1 \\
b_1 & b_2 & a_2 & \ldots & a_2 \\
\vdots & & & & \\
b_1 & b_2 & b_3 & \ldots & a_n
\end{pmatrix}
\equiv
\left|
\begin{array}{lllll}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
b_1 & a_1 & a_1 & \ldots & a_1 \\
b_1 & b_2 & a_2 & \ldots & a_2 \\
\vdots & & & & \\
b_1 & b_2 & b_3 & \ldots & a_n
\end{array}
\right|
\not=0
[/mm]
Also die Determinante muss ungleich null sein. Du kannst die üblichen Zeilen- und Spaltenoperationen anwenden.
Schöne Grüße  , galileo
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> Hallo Informacao
>
> Du musst zeigen, dass:
>
> [mm]
\det
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
b_1 & a_1 & a_1 & \ldots & a_1 \\
b_1 & b_2 & a_2 & \ldots & a_2 \\
\vdots & & & & \\
b_1 & b_2 & b_3 & \ldots & a_n
\end{pmatrix}
\equiv
\left|
\begin{array}{lllll}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
b_1 & a_1 & a_1 & \ldots & a_1 \\
b_1 & b_2 & a_2 & \ldots & a_2 \\
\vdots & & & & \\
b_1 & b_2 & b_3 & \ldots & a_n
\end{array}
\right|
\not=0
[/mm]
>
> Also die Determinante muss ungleich null sein. Du kannst
> die üblichen Zeilen- und Spaltenoperationen anwenden.
>
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> Schöne Grüße , galileo
Hi,
danke für die schnelle Antwort. Aber wie mach ich das? Ich hab keine Ahnung! :-( Kannst du mir mal helfen?
Viele Grüße
Informacao
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 So 12.11.2006 | | Autor: | galileo |
Dokumentiere dich wie man eine Determinante ausrechnet, und versuche alle elemente oberhalb der Hauptdiagonale auf 0 zu kriegen (oder unterhalb).
Die Determinante ist dann das Produkt der Elemente der Diagonale, die alle verschieden von null sein müssen.
Gruss galileo
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guten tag :)
ich hab das ganze gleichungssystem mit gauss umgeformt und krieg am ende
das hier raus...
x(1) + . . . + 0 = 0
0 + x(2) + . . . + 0 = 0
.
.
.
0 + . . . + 0 + x(n+1) = 0
also nur werte auf der hauptdiagonalen?
reicht das dann als lösung aus...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Do 16.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hi nochmal, flashedgordon
> ich hab das ganze gleichungssystem mit gauss umgeformt und
> krieg am ende
> das hier raus...
> x(1) + . . . + 0 = 0
> 0 + x(2) + . . . + 0 = 0
> .
> .
> .
> 0 + . . . + 0 + x(n+1) = 0
>
> also nur werte auf der hauptdiagonalen?
> reicht das dann als lösung aus...
Die Determinante ist dann:
[mm]\det M = x_1\cdot x_2\cdot\cdots\cdot x_{n+1}[/mm]
Wenn alle Faktoren ungleich null sind, ist die Determinante ungleich null.
Kompliment!
Schöne Grüße,
galileo
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