LGS mit Parameter < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 So 15.06.2008 | | Autor: | Rob123 |
| Aufgabe | Lösen des LGS mit Gauß:
x1+x2+cx3=1
x1+cx2+x3=1
cx1+x2+x3=1 in Abh. von a Element R.
Für welche c gibt es
a)unendlich viele Lsg.
b)genau eine Lsg.
c)unendlich viele Lsg.
In allen Fällen sollen die Ränge der Koeff.matrix und der erweiterten Koeff.matrix und im Falle der Lösbarkeit die Lösungsmenge angegeben werden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe es mit Gauß versucht. die 3. Zeile als Pivotzeile genommen und die beiden oberen Zeilen mit a multipliziert und die Pivotzeile abgezogen. Kam dann auf
0 a-1 [mm] a^2-1|a-1
[/mm]
- [mm] a^2-1 [/mm] a-1|a-1
edit durch Moderator:
[mm]\blue{\begin{array}{c c c | c}
0 & a-1& a^2-1&a-1\\
0& a^2-1 &a-1&a-1
\end{array}}[/mm]
Ich nehme an, das ist so gemeint?
Habe dann die 1. als Pivotzeile genommen und die zweite Zeile minus die Pivotzeile*(a+1) gerechnet komme auf
$0\ \ \ 0\ \ \ [mm] -a^3-a^2+2a\ [/mm] |\ [mm] -a^2+a$
[/mm]
Wenn ich die rechte auf die linke Seite bringe, kommt
[mm] -a^3+a=0 [/mm] heraus. Die Lsg. davon sind
a1=-1 a2=1 a3=0
Wenn ich a=1 einsetze, gibt es unendlich viele Lsg, bei a=0 keine und bei a=-1 genau eine.
Nur das mit dem letzten Teil der Aufgabe, den Rängen u. Koeffmat. etc. hab ich keine Ahnung wie das geht.
Hoffe, ihr könnt da helfen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 So 15.06.2008 | | Autor: | Rob123 |
Stimmt, hab mich da verschrieben.
|
|
|
| |
|
> Lösen des LGS mit Gauß:
> x1+x2+cx3=1
> x1+cx2+x3=1
> cx1+x2+x3=1 in Abh. von a Element R.
> Für welche c gibt es
> a)unendlich viele Lsg.
> b)genau eine Lsg.
> c)unendlich viele Lsg.
> In allen Fällen sollen die Ränge der Koeff.matrix und der
> erweiterten Koeff.matrix und im Falle der Lösbarkeit die
> Lösungsmenge angegeben werden.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Habe es mit Gauß versucht. die 3. Zeile als Pivotzeile
> genommen und die beiden oberen Zeilen mit a multipliziert
> und die Pivotzeile abgezogen. Kam dann auf
> 0 a-1 [mm]a^2-1|a-1[/mm]
> - [mm]a^2-1[/mm] a-1|a-1
>
> edit durch Moderator:
> [mm]\blue{\begin{array}{c c c | c}[/mm]
> [mm] 0 & a-1& a^2-1&a-1\\[/mm]
> [mm] 0& a^2-1 &a-1&a-1[/mm]
> [mm] \end{array}}[/mm]
>
> Ich nehme an, das ist so gemeint?
>
> Habe dann die 1. als Pivotzeile genommen und die zweite
> Zeile minus die Pivotzeile*(a+1) gerechnet komme auf
> [mm]0\ \ \ 0\ \ \ -a^3-a^2+2a\ |\ -a^2+a[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn ich das, was Du schreibst, richtig deute, hast Du am Ende die erweiterte Koeffizientenmatrix wie folgt in Zeilenstufenform gebracht:
[mm] \pmat{ a & 1&1 &| 1\\0 &a-1&a^2-1 &| a-1\\ \\0 &0&-a(a-1)(a+2) &| a(1-a)}
[/mm]
> Wenn ich die rechte auf die linke Seite bringe,
Ich kapiere nicht recht, was Du damit meinst.
> kommt
> [mm]-a^3+a=0[/mm] heraus. Die Lsg. davon sind
> a1=-1 a2=1 a3=0
Hast Du etwa [mm] (-a^3-a^2+2a)-(-a^2+a)=0 [/mm] gerechnet?
Das ist verkehrt, denn Deine letzte Zeile steht doch für [mm] (-a^3-a^2+2a)x_3=-a^2+a.
[/mm]
Für die Lösbarkeit ist es ja entscheidend, daß der Rang der Koeffizientenmatrix mit dem der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt.
Das System ist nicht lösbar, wenn die beiden Ränge verschieden sind. Dies könnte passieren, wenn a=0 oder a=1 oder a=-2.
In allen anderen Fällen sind die führenden Elemente der Zeilen ungleich Null, also Rang der Koeffizientenmatrix=rang der erweiterten Koeffizientenmatrix=3, die Konsequenzen für die Lösbarkeit kannst Du Dir ja selbst überlegen.
Und nun untersuche noch getrennt die Fälle a=0, a=1 und a=-2.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 So 15.06.2008 | | Autor: | Rob123 |
OK, jetzt hab ichs:
Bei -2 ist es nicht lösbar
bei 0 Rang(A)=2, also unendlich viele Lsg.,
bei 1 gibts genau eine Lsg.
Danke schön für die Hilfe.
|
|
|
|
