LGS mit Parameter < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:14 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Electron |
| Aufgabe | Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:
[mm] -2x_{1}+16x_{2}+6x_{3}-ax_{4}=12
[/mm]
[mm] -6x_{1}+2x_{3}+ax_{4}=4
[/mm]
[mm] -8x_{1}+16x_{2}+8x_{3}+(a^{2}-4a)x_{4}=4a
[/mm]
[mm] x_{1}- 2x_{2}- x_{3}=-2
[/mm]
Für welche Werte von a ist das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar bzw. unlösbar. Geben Sie im Falle der mehrdeutigen Lösbarkeit die Anzahl der freien Parameter in Abhängigkeit von a an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich sitz jetzt schon seit 5 Tagen an Aufgaben mit LGS aber bei dieser komm ich einfach nicht weiter... Vielleicht geh ich ja auch irgendwie falsch an die Sache ran oder seh einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr...
Ich bin an die Aufgabenstellung von der Seite herangegangen, das ich zuersteinmal die Tabelle für den Gauss-Algorithmus aufgestellt und durchgeführt habe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aus der letzen Zeile der Tabelle erkennt man, daß für den Fall a=4 das LGS mehrdeutig lösbar ist. Wie kann ich jetzt bestimmen welche x die freien Parameter sind? Funktioniert hier das Gauß-Jordan-Verfahren?
Für den Fall [mm] x\not=4 [/mm] ist das LGS nicht lösbar.
Lieg ich soweit richtig?
Wie komme ich auf den Wert von a, daß das LGS eindeutig lösbar ist?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:
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> [mm]-2x_{1}+16x_{2}+6x_{3}-ax_{4}=12[/mm]
> [mm]-6x_{1}+2x_{3}+ax_{4}=4[/mm]
> [mm]-8x_{1}+16x_{2}+8x_{3}+(a^{2}-4a)x_{4}=4a[/mm]
> [mm]x_{1}- 2x_{2}- x_{3}=-2[/mm]
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> Für welche Werte von a ist das lineare Gleichungssystem
> eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar bzw. unlösbar. Geben
> Sie im Falle der mehrdeutigen Lösbarkeit die Anzahl der
> freien Parameter in Abhängigkeit von a an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Aus der letzen Zeile der Tabelle erkennt man, daß für den
> Fall a=4 das LGS mehrdeutig lösbar ist.
> Für den Fall [mm]x\not=4[/mm] ist das LGS nicht lösbar.
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> Wie komme ich auf den Wert von a, daß das LGS eindeutig
> lösbar ist?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es gibt doch nur zwei Möglichkeiten:
entweder ist a=4 oder [mm] a\not=4. [/mm] Eine dritte gibt's nicht.
Also ist das GS nie eindeutig lösbar.
Wie kann ich jetzt
> bestimmen welche x die freien Parameter sind? Funktioniert
> hier das Gauß-Jordan-Verfahren?
Es würde jetzt als nächstes die Rückelimination für a=4 erfolgen.
Aber - da ergibt sich eine gar fürchterliche Panne: guck Dir mal die viertletzte Zeile Deiner Gauß-Umformungen an (mit a=4).
Was sagt das?
Gruß v.Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Electron |
Dankeschön für die schnelle Antwort Angela!
Ich hab die Tabelle jetzt nochmal für a=4 entwickelt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die vorletzte Zeile ergibt aber eine falsche Aussage...
Das bedeutet doch, daß das Gleichungssystem nicht lösbar ist, oder?
Heißt das jetzt, das die einzigste Lösung des LGS die mit den freien Parametern in der abhängikeit von a ist?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Ich hab die Tabelle jetzt nochmal für a=4 entwickelt:
>
> Die vorletzte Zeile ergibt aber eine falsche Aussage...
> Das bedeutet doch, daß das Gleichungssystem nicht lösbar
> ist, oder?
Ganz richtig.
Du hattest zunächst herausgefunden:
WENN es lösbar ist, dann nur mit a=4, und zwar mit unendlich vielen Lösungen, die Du bereit warst, zu ermitteln.
Deine weitere Untersuchung hat ergeben: auch mit a=4 ist es nicht zu lösen.
Tja, wenn es weder für [mm] a\not=4 [/mm] eine Lösung hat, noch für a=4, dann hat es keine Lösung.
Auf ein Problem, welches aber fürs Endergebnis keine Rolle spielt, möchte ich Dich noch hinweisen, ich beziehe mich auf Deinen Gauß-Algorithmus.
Wie bist Du auf Deine letzte Zeile gekommen? Indem Du die drittletzte mit (a-4) multipliziert und sie dann von der vorletzten subtrahiert hast.
Bei so etwas ist höchste Vorsicht geboten: Fur a=4 ist das nämlich keine äquivalente Umformung, weil Du in dem Fall ja mit 0 multiplizierst.
Dein Algorithmus ist also nur für [mm] a\not=0 [/mm] richtig.
Und für a=4?
Schauen wir uns die entscheidenden Zeilen an:
0 2a 0
0 [mm] a^2-4a [/mm] -16+4a
Man sieht sofort, daß
0 2a 0
für a=4 nichts lösbares ergibt.
"Normalerweise" wäre die Überlegung ab dieser Stelle etwas anders verlaufen.
0 2a 0
0 [mm] a^2-4a [/mm] -16+4a
==> wenn es überhaupt eine Lsg gibt, muß a=0 sein.
a=0 eingesetzt ergibt 0=-16. Also hat die Gleichung keine Lösung.
Dasselbe Ergebnis wie Deines, nur ohne die höchst gefährliche Multiplikation mit (a-4).
Manchmal lassen sich solche Multiplikationen nicht vermeiden. Man darf sie ausführen, muß aber notieren "für [mm] a-4\not=", [/mm] und anschließend noch den Fall "a-4=0" diskutieren.
Ich hoffe, daß ich Dich nun nicht verwirrt habe. Du hast alles nahezu richtig gemacht, und wenn Du in Zukunft darauf achtest, daß Du nicht versehentlich mit Null multiplizierst, kann nichts schiefgehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Electron |
Dankeschön für die Hilfe Angela...
Du hast mich mit den letzten Überlegungen nicht verwirrt, sondern vielmehr weitergeholfen... DANKE!!!
Ach ja, hab ich vergessen: ich hab die drittletzte Zeile mit (-0,5a+2)erweitert und zur vorletzten addiert... ändert ja aber trotzdem nix an der Lösung... 
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