LGS lösen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 So 29.01.2006 | | Autor: | dump_0 |
Hallo.
Ich habe ein LGS mit mehr Unbekannten als Zeilen was ich lösen soll.
Ich habe als erstes mal die erweiterte Koeff.matrix gebildet, die dann so aussieht:
[mm] \pmat{ 3 & -2 & 2 & 4 & 1 & | & 2\\ 1 & -1 & 4 & 8 & 1 & | & -1\\ 2 & -3 & 6 & 9 & 4 & | & -5\\ 7 & -2 & 4 & 8 & 1 & | & 6}
[/mm]
Jetzt würde ich versuchen den Gauss-Algo so oft anzuwenden wie es geht, wie es dann aber weiter geht weiß ich leider nicht so richtig :(
Wie muss ich denn dann vorgehen um diese LGS zu lösen, also die Lösungsmenge Lös(A,b) = [mm] {x_1,...,x_5} [/mm] zu finden ?
Grüße
[mm] dump_0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 So 29.01.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hallo [mm] dump_0!
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Also das mit dem Gauß ist schon absolut gut! :)
Den machst du solange bis du die Matrix in Treppennormalform hast!
Da sollte dann sowas wie eine "kleine" Einheitsmtrix in der Matrix entstehen. Der Rest der Spalten, der also nicht in Einheitsmatrix überführbar ist, bildet Die Grundlage für deine Lösung!!
Das sieht ungefähr so aus:
[mm] \pmat{E_r & B \\ 0 & 0 }
[/mm]
Die Spalten dieses Restes fassen wir mal in einer Matrix B zusammen. Dies hier ist natürlich nur die linke Seite der Matrix, aber mit rechter Seite geht das auch.
Dann ergibt sich nach einem Satz die Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems als Summe einer speziellen Lösung und allen Lösungen des zugehörigen homogenen Systems.
Die spezielle Lösung kannste an der Matrix in Zeilenstufenform ( die mit der "kleinen" Einheitsmatrix drin ) ablesen:
Die rechte Seite mit n-r vielen Nullen dran als Spalte geschrieben.
Nun fehlen nur noch die Lösungen des zug. HLGS.
Da kommste dran, indem du die Matrix B benuzt:
Die Spalten der folgenden Matrix sind jetzt wichtig!
[mm] \pmat{ -B \\ E_n-r }
[/mm]
Die Linearkombination dieser spalten mit skalaren sind die Lösungen des zugehörigen homogenen LGS.
Deine Lösung sieht dann so ahnlich aus:
[spezielle Lösung]+[alle Lösungen des zHLGS]
also:
x + [mm] l_1 [/mm] * [mm] s_1 [/mm] + ...+ [mm] l_n-r [/mm] * [mm] s_n-r
[/mm]
Zur Erklärung:
x = spez. Lösung
[mm] l_i [/mm] = Spalten von B
[mm] s_i [/mm] = freie Parameter (Skalare)
Dies sollte nun deine Lösung sein!
Hoffe das ist verständlich geschrieben (kannst ja nocmal im Falko Lorenz nachschlagen, von da habe ich das)
Viel Glück beim Rechnen ;)
ElemEnt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 So 29.01.2006 | | Autor: | Maceo |
Das ist ja alles schön und gut, wenn das LGS überhaupt lösbar ist...
Hattet ihr nicht einen Satz wie:
[mm]Loes(A,b) = \emptyset[/mm] (Der Lösungsraum eines LGS ist leer, das LGS ist [mm] \underline{nicht} [/mm] lösbar)
[mm]\gdw b \not\in Im(F)[/mm]
[mm]\gdw Rang(A,b)=Rang(A)+1[/mm]
Also bringe die Matrix (A,b) mal in Zeilenstufenform und schau genau hin! ;o)
Liebe Grüße,
Georg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Mo 30.01.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hallo [mm] dump_0!
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Maceo hat natürlich Recht, man sollte erst prüfen, ob das Gleichungssystem überhaupt lösbar ist!
Bin davon ausgegangen das haste schon gemacht.
Also das wäre dann mal zunächst der erste Schritt!
ElemEnt
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