LGS linear un- /abhängig < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Sa 25.10.2008 | | Autor: | raemic |
| Aufgabe | 1)
[mm] \lambda [/mm] , [mm] \mu, \nu [/mm] in [mm] \IQ, [/mm] nicht alle 0, [mm] \lambda(7,11) [/mm] + [mm] \mu(2,9) [/mm] + [mm] \nu(6,0) [/mm] = (0,0).
und seien [mm] w_1=(7,11,1) w_2=(2,9,2), w_3=(6,0,3), w_4=(0,0,1). [/mm]
Bestimme [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4 [/mm] in [mm] \IQ [/mm] nicht alle 0 mit [mm] \lambda_1*w_1 [/mm] + [mm] \lambda_2*w_2 [/mm] + [mm] \lambda_3*w_3 [/mm] + [mm] \lambda_4*w_4 [/mm] = 0 in [mm] R^3
[/mm]
2)
[mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] in Vektorraum V, [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] sind linear abhängig und [mm] v_4 \notin
[/mm]
Zeige das [mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] linear unabhängig sind |
1)
Die Aufgabe scheint ja nicht schwierig zu sein, ich muss ja die [mm] \lambda [/mm] 's bestimmen, was ich ja gut mit einem LGS machen kann, nur ergibt sich hier ein Problem, so wie ich das sehe habe ich 4 Unbekannte aber nur 3 Gleichungen, sprich ich kann sie nicht alle bestimmen. Ausser ich würde ein [mm] \lambda [/mm] = 0 setzen, aber dann werden mir unglücklicherweise die anderen auch 0 wenn ich die Gleichungen auflöse und das darf ja nicht sein.
Zudem verstehe ich nicht weshalb in der Aufgabe zuerst noch [mm] \lambda, \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] steht, meiner Meinung nach bringt mir das für diese Aufgabe nichts oder sehe ich das falsch?
Wo ist mein Fehler das ich das Gleichungssystem nicht komplett lösen kann?
2)
Auch bei der Aufgabe habe ich ein Problem:
Also mir ist klar das [mm] \lambda_1*v_1+\lambda_2*v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3*v_3 [/mm] = 0 wobei nicht alle [mm] \lambda [/mm] = 0 sein dürfen, zudem ist ja [mm] v_4 [/mm] nicht in der Teilmengen bzw. im Untervektorraum von V da ja [mm] v_4 \notin
[/mm]
wie mache ich mir aber das nun zu nutzen um zu zeigen das [mm] v_1,v_2,v_3,v_3 [/mm] lin. unabhängig sind?
kann ich das so aufstellen:
[mm] \lambda_1*\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}+\lambda_2*\vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}+\lambda_3*\vektor{x_3 \\ y_3 \\ z_3}+\lambda_4*\vektor{x_4 \\ y_4 \\ z_4}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
und jetzt müsste ich zeigen das jedes [mm] \lambda [/mm] = 0 ist? bzw. da [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] lin. abhängig sind, ist ja folglich dort nicht jedes [mm] \lambda [/mm] = 0 somit müsste ich zeigen das durch [mm] v_4 [/mm] bzw. [mm] \lambda_4 [/mm] jedes [mm] \lambda [/mm] = 0 wird
aber wie genau gebrauche ich diese Informationen um das allgemein zu zeigen?
Liebe Grüsse
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> 1)
> [mm]\lambda[/mm] , [mm]\mu, \nu[/mm] in [mm]\IQ,[/mm] nicht alle 0, [mm]\lambda(7,11)[/mm] +
> [mm]\mu(2,9)[/mm] + [mm]\nu(6,0)[/mm] = (0,0).
> und seien [mm]w_1=(7,11,1) w_2=(2,9,2), w_3=(6,0,3), w_4=(0,0,1).[/mm]
>
> Bestimme [mm]\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4[/mm] in [mm]\IQ[/mm]
> nicht alle 0 mit [mm]\lambda_1*w_1[/mm] + [mm]\lambda_2*w_2[/mm] +
> [mm]\lambda_3*w_3[/mm] + [mm]\lambda_4*w_4[/mm] = 0 in [mm]R^3[/mm]
>
> 1)
> Die Aufgabe scheint ja nicht schwierig zu sein, ich muss ja
> die [mm]\lambda[/mm] 's bestimmen, was ich ja gut mit einem LGS
> machen kann,
Hallo,
genau.
> nur ergibt sich hier ein Problem, so wie ich
> das sehe habe ich 4 Unbekannte aber nur 3 Gleichungen,
> sprich ich kann sie nicht alle bestimmen.
Doch. Bloß Du bekommst keine eindeutige Lösung.
Rechne mal vor, wie weit Du gekommen bist, dann kann Dir jemand zeigen, wie es weitergeht.
Das ist besser, als wenn ich es jetzt umständlich erkläre.
> Zudem verstehe ich nicht weshalb in der Aufgabe zuerst noch
> [mm]\lambda, \mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] steht, meiner Meinung nach bringt mir
> das für diese Aufgabe nichts oder sehe ich das falsch?
Wenn das wortwörtlich so dasteht, sehe ich auch nicht, was das soll.
Ich bin mir ziemlich sicher, daß Du eigentlich für die erste Gleichung auch eine von [mm] \lambda=\mu=\nu [/mm] verschiedene Lösung finden sollst.
Fang am besten damit an, weil Du nur zwei Gleichungen bekommst, ist#s etwas übersichtlicher, und vielleicht fällt Dir dann die andere leichter.
>
> Wo ist mein Fehler das ich das Gleichungssystem nicht
> komplett lösen kann?
> 2)
> [mm]v_1, v_2, v_3, v_4[/mm] in Vektorraum V, [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] sind
> linear abhängig und [mm]v_4 \notin [/mm]
> Zeige das
> [mm]v_1, v_2, v_3, v_4[/mm] linear unabhängig sind
>
> 2)
> Auch bei der Aufgabe habe ich ein Problem:
Du wirst sie nicht lösen können.
Wenn schon [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] linear abhängig sind, dann kann [mm] (v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] nicht linear unabhängig sein.
Hast Du die Aufgabenstellung wortwörtlich übernommen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Sa 25.10.2008 | | Autor: | raemic |
OK, ich bin soweit, dass ich aufgestellt habe:
1) 7w + 2x + 6y = 0
2) 11w + 9y = 0
3) w + 2x + 3y + z = 0
dann folgt: aus 2) [mm] w=\bruch{-9y}{11}
[/mm]
einsetzen in 1) [mm] 7*\bruch{-9y}{11} [/mm] + 2x + 6y = 0
somit folgt aus 1) [mm] x=\bruch{-3y}{22}
[/mm]
einsetzen in 3) daraus folgt [mm] z=\bruch{-21y}{11}
[/mm]
soweit bin ich mal? was mache ich dabei falsch?
> Du wirst sie nicht lösen können.
> Wenn schon [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] linear abhängig sind, dann kann
> [mm](v_1, v_2, v_3, v_4)[/mm] nicht linear unabhängig sein.
>
> Hast Du die Aufgabenstellung wortwörtlich übernommen?
>
Nein, ich hab ganz nen dummen Fehler gemacht, Entschuldigung, da sollte [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] linear unabhängig stehen, tut mir leide da hab ich total was verbockt.
also so:
$ [mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] $ in Vektorraum V, $ [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] $ sind
linear UNabhängig und $ [mm] v_4 \notin [/mm] $
Zeige das
$ [mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] $ linear unabhängig sind
also im Prinzip könnte das so aussehen
[mm] \lambda_1*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_2*\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_2*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_4*\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
aber wie allgemein?
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> OK, ich bin soweit, dass ich aufgestellt habe:
>
> 1) 7w + 2x + 6y = 0
> 2) 11w + 9y = 0
> 3) w + 2x + 3y + z = 0
>
> dann folgt: aus [mm] 2)\red{w=\bruch{-9y}{11}}
[/mm]
>
> einsetzen in 1) [mm]7*\bruch{-9y}{11}[/mm] + 2x + 6y = 0
>
> somit folgt aus 1) [mm]\red{x=\bruch{-3y}{22}}[/mm]
>
> einsetzen in 3) daraus folgt [mm]\red{z=\bruch{-21y}{11}}[/mm]
>
> soweit bin ich mal? was mache ich dabei falsch?
Hallo,
bisher hast Du nichts falsch gemacht - höchstens 'nen Rechenfehler, das habe ich nicht überprüft.
Du mußt nun herausfinden, was Dir Dein Ergebnis erzählt.
Es sagt Dir folgendes: sofern Dein w,x,z die angegebene Gestalt haben, lösen (für völlig beliebiges y) x,y,z,w das Gleichungssystem.
Entscheidest Du Dich für y=22, wäre also
y=22, [mm] w=\bruch{-9*22}{11}, x=\bruch{-3*22}{22}, z=\bruch{-21*22}{11} [/mm] eine Lösung. Eine von sehr vielen Lösungen.
>
>
> > Du wirst sie nicht lösen können.
> > Wenn schon [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] linear abhängig sind, dann
> kann
> > [mm](v_1, v_2, v_3, v_4)[/mm] nicht linear unabhängig sein.
> >
> > Hast Du die Aufgabenstellung wortwörtlich übernommen?
> >
>
> Nein, ich hab ganz nen dummen Fehler gemacht,
> Entschuldigung, da sollte [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] linear unabhängig
> stehen, tut mir leide da hab ich total was verbockt.
>
> also so:
>
> [mm]v_1, v_2, v_3, v_4[/mm] in Vektorraum V, [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] sind
> linear UNabhängig und [mm]v_4 \notin [/mm]
> Zeige das
> [mm]v_1, v_2, v_3, v_4[/mm] linear unabhängig sind
>
Dazu mußt Du zeigen, daß aus [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0 [/mm] folgt, daß alle Lambdas=0 sind.
So kannst Du anfangen:
Sei [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0
[/mm]
Jetzt kannst Du Dir erstmal überlegen, warum [mm] \lambda_4=0 [/mm] sein muß.
Dann weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Sa 25.10.2008 | | Autor: | raemic |
Hallo und besten Dank schon mal..
> Dazu mußt Du zeigen, daß aus
> [mm]\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0[/mm]
> folgt, daß alle Lambdas=0 sind.
>
> So kannst Du anfangen:
>
> Sei [mm]\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0[/mm]
>
> Jetzt kannst Du Dir erstmal überlegen, warum [mm]\lambda_4=0[/mm]
> sein muß.
OK, ich weiss nicht ob ich so argumentieren darf, aber wenn mir schon gegeben haben dass:
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3* v_3 [/mm] = 0
linear unabhängig sind, was ja in der Aufgabe steht :D , sind dort alle [mm] \lambda's [/mm] = 0 somit muss [mm] \lambda_4 [/mm] auch 0 sein, sollte [mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] linear unabhängig sein, also angenommen:
[mm] 0*v_1+0*v_2+0*v_3+\lambda_4*v_4 [/mm] = 0 ; [mm] \lambda_4 \not= [/mm] 0
[mm] \lambda_4*v_4=0 [/mm] somit ist [mm] v_4 [/mm] = 0 da [mm] \lambda_4 \not=0 [/mm]
lässt sich aber der Nullvektor mit Koeffizienten ungleich 0 erzeugen spricht man von linear abhängig was somit ein Widerspruch wäre und bedeuten würde das auch [mm] \lambda_4 [/mm] = 0 sein müsste und somit linear unabhängig
Frage, kann ich das so machen? und wenn das überhaupt korrekt ist was ich sage, ist es dann auch ein Beweis?
liebe grüsse
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> > Dazu mußt Du zeigen, daß aus
> > [mm]\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0[/mm]
> > folgt, daß alle Lambdas=0 sind.
> >
> > So kannst Du anfangen:
> >
> > Sei [mm]\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0[/mm]
> >
> > Jetzt kannst Du Dir erstmal überlegen, warum [mm]\lambda_4=0[/mm]
> > sein muß.
>
Hallo!
> OK, ich weiss nicht ob ich so argumentieren darf, aber wenn
> mir schon gegeben haben dass:
[mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] linear unabhängig sind, dann folgt aus
>
> [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]v_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]v_2[/mm] + [mm]\lambda_3* v_3[/mm] = 0
daß [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3=0 [/mm] sind.
>
> linear unabhängig sind, was ja in der Aufgabe steht :D ,
> sind dort alle [mm]\lambda's[/mm] = 0 somit muss [mm]\lambda_4[/mm] auch 0
> sein,
Nein, die Argumentation stimmt überhaupt nicht. ich mache mal ein kleineres Beispiel dazu :
[mm] a:=\vektor\{1\\0\\0}, b:=\vektor\{0\\1\\0}, c:=\vektor\{1\\1\\0}.
[/mm]
a und b sind linear unabhängig, denn aus [mm] \mu*a +\nu*b=0 [/mm] folgt [mm] \mu=\nu=0.
[/mm]
Sei nun [mm] \mu*a +\nu*b [/mm] + [mm] \delta [/mm] c=0.
Diese Gleichung hat durchaus auch von [mm] \mu=\nu=\delta=0 [/mm] verschiedene Lösungen.
Du willst ja zeigen, daß aus [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0 [/mm] folgt, daß alle Lambdas =0 sind.
Nimm jetzt mal an, daß [mm] \lambda_4\not=0 [/mm] ist. Warum ist das ein Widerspruch zu den Voraussetzungen?
Gruß v. Angela
sollte [mm]v_1, v_2, v_3, v_4[/mm] linear unabhängig sein,
> also angenommen: >
> [mm]0*v_1+0*v_2+0*v_3+\lambda_4*v_4[/mm] = 0 ; [mm]\lambda_4 \not=[/mm] 0
>
> [mm]\lambda_4*v_4=0[/mm] somit ist [mm]v_4[/mm] = 0 da [mm]\lambda_4 \not=0[/mm]
>
> lässt sich aber der Nullvektor mit Koeffizienten ungleich 0
> erzeugen spricht man von linear abhängig was somit ein
> Widerspruch wäre und bedeuten würde das auch [mm]\lambda_4[/mm] = 0
> sein müsste und somit linear unabhängig
>
> Frage, kann ich das so machen? und wenn das überhaupt
> korrekt ist was ich sage, ist es dann auch ein Beweis?
>
> liebe grüsse
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Sa 25.10.2008 | | Autor: | raemic |
> Nein, die Argumentation stimmt überhaupt nicht. ich mache
> mal ein kleineres Beispiel dazu :
>
> [mm]a:=\vektor {1\\0\\0}, b:=\vektor {0\\1\\0}, c:=\vektor{1\\1\\0}.[/mm]
>
> a und b sind linear unabhängig, denn aus [mm]\mu*a +\nu*b=0[/mm]
> folgt [mm]\mu=\nu=0.[/mm]
>
> Sei nun [mm]\mu*a +\nu*b[/mm] + [mm]\delta[/mm] c=0.
> Diese Gleichung hat durchaus auch von [mm]\mu=\nu=\delta=0[/mm]
> verschiedene Lösungen.
>
> Nimm jetzt mal an, daß [mm]\lambda_4\not=0[/mm] ist. Warum ist das
> ein Widerspruch zu den Voraussetzungen?
>
> Gruß v. Angela
>
naja gut, weil wenn ein Koeffizient [mm] \not= [/mm] 0 ist, kann es nicht mehr linear unabhängig sein, zumindest steht das so in den Bücher, aber damit ist ja noch nichts gesagt..
> Du willst ja zeigen, daß aus
> [mm]\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0[/mm]
> folgt, daß alle Lambdas =0 sind.
aber mal ehrlich, ich versteh das noch nicht wirklich, wieso kann ich den nicht voraussetzen das [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm] schon 0 sind - das folgt ja aus der Aufgabe - und mir dann nur noch [mm] \lambda_4 [/mm] ansehen, ich meine an den andern drei ändert das ja nix mehr, und wenn dann [mm] \lambda_4 [/mm] = 0 dann stimmts ja
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> > Nimm jetzt mal an, daß [mm]\lambda_4\not=0[/mm] ist. Warum ist das
> > ein Widerspruch zu den Voraussetzungen?
> naja gut, weil wenn ein Koeffizient [mm]\not=[/mm] 0 ist, kann es
> nicht mehr linear unabhängig sein, zumindest steht das so
> in den Bücher, aber damit ist ja noch nichts gesagt..
Hallo,
ich rede nicht von einem Koeffizienten, sondern ich rede von einem bestimmten.
Warum kann [mm] \lambda_4 [/mm] nicht =0 sein.
>
> > Du willst ja zeigen, daß aus
> > [mm]\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0[/mm]
> > folgt, daß alle Lambdas =0 sind.
>
> aber mal ehrlich, ich versteh das noch nicht wirklich,
> wieso kann ich den nicht voraussetzen das [mm]\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3[/mm]
> schon 0 sind - das folgt ja aus der Aufgabe -
Nein. Daß [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] linear unabhängig sind, bedeutet:
aus [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0 [/mm] folgt, daß alle [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm] =0 sind.
(Daß es also keine nichttriviale Linearkombi v. [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] gibt, die 0 ergibt)
Darauf , daß das auch [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0 [/mm] folgt, kann man allein aus der linearen Unabhängigkeit der [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] nicht schließen. Siehe mein Beispiel.
> und mir dann
> nur noch [mm]\lambda_4[/mm] ansehen, ich meine an den andern drei
> ändert das ja nix mehr, und wenn dann [mm]\lambda_4[/mm] = 0 dann
> stimmts ja
Aus oben genanntem grund wirst Du damit keinen Erfolg haben.
Mach's andersrum.
Guck erst, warum [mm] \lambda_4 [/mm] nicht =0 sein kann.
Danach kannst Du dann mit der linearen Unabhängigkeit von [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] weitermachen. Dann zieht das Argument.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 26.10.2008 | | Autor: | raemic |
> Hallo,
> ich rede nicht von einem Koeffizienten, sondern ich rede von einem > bestimmten.
> Warum kann $ [mm] \lambda_4 [/mm] $ nicht =0 sein.
>
Moment, aber [mm] \lambda_4 [/mm] muss ja = 0 sein, sonst ist es ja nicht linear unabhängig? oder wieso soll jetzt plötzlich [mm] \lambda_4 \not= [/mm] 0 sein.. sorry das verstehe ich sonst nicht mehr..
> > Du willst ja zeigen, daß aus
> > $ [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0 [/mm] $
> > folgt, daß alle Lambdas =0 sind.
>
> aber mal ehrlich, ich versteh das noch nicht wirklich,
> wieso kann ich den nicht voraussetzen das $ [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm] $
>
> Nein. Daß $ [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] $ linear unabhängig sind, bedeutet:
> aus $ [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0 [/mm] $ folgt, daß alle $ > [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm] $ =0 sind.
Aber das ist ja auch was ich sage.. oder wo ist der Unterschied.. ich sage ja genau gleich das die [mm] \lambda [/mm] 's = 0 sind.
aber also nochmal von vorne:
es geht um lineare Unabhängigkeit, dass heisst alle [mm] \lambda's [/mm] müssten = 0 sein, da es sonst ganz einfach nicht linear unabhängig ist.
dass heisst "am Schluss" muss
[mm] \lambda_4 [/mm] = 0 sein
[mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm] sind linear unabhängig, es gilt also
dass:
[mm] \lambda_1*v_1+\lambda_2*v_2+\lambda_3*v_3 [/mm] = 0 [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
was passiert jetzt wenn [mm] v_4 [/mm] auch linear abhängig sein soll?
dann muss gelten:
[mm] \lambda_1*v_1+\lambda_2*v_2+\lambda_3*v_3+\lambda_4*v_4=0=\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = [mm] \lambda_4=0
[/mm]
also wenn [mm] \lambda_4 \not= [/mm] 0 würde sich durch [mm] \lambda_4 [/mm] teilen lassen und man könnte [mm] v_4 [/mm] durch die anderen darstellen
aber ganz ehrlich.. eigentlich verstehe ich jetzt, so glaub ich jedenfalls, nix mehr von der ganzen Geschichte..
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Hallo,
ich mache einen letzten Versuch:
Voraussetzung.
Du hast linear unabhängige [mm] v_1, v_2, v_3, [/mm] und einen Vektor [mm] v_4, [/mm] der nicht in der linearen Hülle (=Span) der drei Vektoren ist, also [mm] v_4\not=.
[/mm]
Was bedeuten diese Voraussetzungen:
1. Wenn irgendeine Linearkombination von [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] den Nullvektor ergibt, müssen die Koeffizienten alle =0 sein.
2. Man kann [mm] v_4 [/mm] nicht als Linearkombination von [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] schreiben.
zu zeigen:
[mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] sind linear unabhängig, d.h. wenn es irgendeine Linearkombination der 4 Vektoren gibt, die die Null ergeben, müssen alle 4 Koeffizienten Null sein.
Beweis:
Es sei
[mm] \mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3+\mu_4v_4=0.
[/mm]
Du weißt bisher nichts über die [mm] \mu_i.
[/mm]
Herausbekommen willst Du, daß sie zwingend (!) =0 sein müssen.
(Daß die Gleichung gelöst wird, wenn alle =0 sind, ist ja nicht verwunderlich.)
Um dieses zu zeigen, nimm an, daß es anders wäre.
Nimm an, daß [mm] \mu_4\not=0 [/mm] ist. Bring dann [mm] \mu_4v_4 [/mm] auf die andere Seite? Siehst Du jetzt den Widerspruch?
Also muß [mm] \mu_4=0 [/mm] sein.
==> ???
und jetzt kannst Du mit der linearen Unabhängigkeit der [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] weitermachen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 26.10.2008 | | Autor: | raemic |
> Beweis:
>
> Es sei
>
> [mm]\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3+\mu_4v_4=0.[/mm]
>
>
> Du weißt bisher nichts über die [mm]\mu_i.[/mm]
>
> Herausbekommen willst Du, daß sie zwingend (!) =0 sein
> müssen.
>
> (Daß die Gleichung gelöst wird, wenn alle =0 sind, ist ja
> nicht verwunderlich.)
>
>
> Um dieses zu zeigen, nimm an, daß es anders wäre.
>
> Nimm an, daß [mm]\mu_4\not=0[/mm] ist. Bring dann [mm]\mu_4v_4[/mm] auf die
> andere Seite? Siehst Du jetzt den Widerspruch?
>
also [mm] \mu_1*v_1+\mu_2*v_2+\mu_3*v_3=-\mu_4*v_4 [/mm]
und [mm] \mu_4 \not= [/mm] 0
aber wenn ich dich richtig verstehe darf ich hier jetzt für [mm] \mu_1,\mu_2,\mu_3 [/mm] irgendetwas annehmen, auch z.B. das sie 0 sein könnten.. nur halt [mm] \mu_4 [/mm] darf nicht 0 sein.
und angenommen die [mm] \mu's [/mm] wären 0 dann sehe ich den Widerspruch und dann wäre für mich klar das [mm] \mu_4 [/mm] = 0 sein muss
(ev. noch das man nicht durch Vektoren dividieren darf)
aber so wird es wohl nicht sein, denn das ist ja eigentlich was ich schon gestern mal gemacht habe, deshalb knick ich dich ganze Angelegenheit wohl.. :) und muss mich wohl damit abfinden das, dass doch nix für mich ist..
trotzdem danke für deine Bemühungen..
liebe grüsse
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> > Beweis:
> >
> > Es sei
> >
> > [mm]\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3+\mu_4v_4=0.[/mm]
> >
> >
> > Du weißt bisher nichts über die [mm]\mu_i.[/mm]
> >
> > Herausbekommen willst Du, daß sie zwingend (!) =0 sein
> > müssen.
> >
> > (Daß die Gleichung gelöst wird, wenn alle =0 sind, ist ja
> > nicht verwunderlich.)
> >
> >
> > Um dieses zu zeigen, nimm an, daß es anders wäre.
> >
> > Nimm an, daß [mm]\mu_4\not=0[/mm] ist. Bring dann [mm]\mu_4v_4[/mm] auf die
> > andere Seite? Siehst Du jetzt den Widerspruch?
> >
>
> also [mm]\mu_1*v_1+\mu_2*v_2+\mu_3*v_3=-\mu_4*v_4[/mm]
>
> und [mm]\mu_4 \not=[/mm] 0
> aber wenn ich dich richtig verstehe darf ich hier jetzt für
> [mm]\mu_1,\mu_2,\mu_3[/mm] irgendetwas annehmen, auch z.B. das sie 0
> sein könnten..
Hallo,
davon, daß Du irgendwas über die Müs annehmen sollst, habe ich nichts gesagt.
Dividiere jetzt mal beide Seiten durch [mm] \mu_4.
[/mm]
In meinem anderen Post habe ich die beiden Voraussetzungen ja auch weitgehend in Worte gefaßt.
Am besten, Du liest sie Dir dann mal laut vor. Ich hoffe, Du wirst hierbei feststellen, wo der Widerspruch liegt.
Gruß v. Angela
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