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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe 1 | es seien A= [mm] \pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha } [/mm] und [mm] \lambda_{1}=cos\alpha+i*sin\alpha, \lambda_{2}=cos\alpha-i*sin\alpha.
[/mm]
Loesen Sie das homogene lineare Gleichungssystem ueber dem Koerper [mm] \IC [/mm] fuer j [mm] \in [/mm] {1,2}. (E ist die 2x2 Einheitsmatrix)
[mm] (A-\lambda_{j}*E)* \vektor{z_{1} \\ z_{2}}= \vektor{0 \\ 0} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Geben Sie fuer jeden Loesungsraum [mm] Loes(A-\lambda_{j}*E, \vektor{0 \\ 0}), [/mm] (j [mm] \in [/mm] {1,2}) eine Basis an. |
| Aufgabe 3 | | Es sie S [mm] \in \IC^{2x2} [/mm] eine Matrix, deren j-te Spalte ein Basisvektor des Loesungsraums [mm] Loes(A-\lambda_{j}*E, \vektor{0 \\ 0}), [/mm] (j [mm] \in [/mm] {1,2}) ist. Berechnen Sie [mm] S^{-1} [/mm] und [mm] S^{-1}*A*S. [/mm] |
hallo ihr lieben.
bin mit dieser aufgabe schon ganz am verzweifeln.. da meine ersten probs schon bei a) anfangen, bin ich auch leider noch nicht sehr weit gekommen..
hab zuerst das gleichungssystem aufgestellt.
fuer [mm] \lambda_{1}:
[/mm]
[mm] (A-\lambda_{1}*E)*\vektor{z_{1} \\ z_{2}}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ -i*sin\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & -i*sin\alpha }*\vektor{z_{1} \\ z_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
I. [mm] -i*sin\alpha*z_{1}-sin\alpha*z_{2}=0
[/mm]
II. [mm] sin\alpha*z_{1}-i*sin\alpha*z_{2}=0
[/mm]
fuer [mm] \lambda_{2}
[/mm]
[mm] \pmat{ i*sin\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & i*sin\alpha }*\vektor{z_{1} \\ z_{2}}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
III. [mm] i*sin\alpha*z_{1}-sin\alpha*z_{2}=0
[/mm]
IV. [mm] sin\alpha*z_{1}+i*sin\alpha*z_{2}=0
[/mm]
Ist das soweit erstmal richtig?
Jetzt koennte ich I.+III. und II.+IV. rechnen und kaeme auf:
V. [mm] -2*sin\alpha*z_{2}=0
[/mm]
VI. [mm] 2*sin\alpha*z_{1}=0
[/mm]
diese beiden addiert ergibt:
[mm] sin\alpha*(-2*z_{2}+2*z_{1})=0
[/mm]
Jetzt weiss ich allerdings nicht, was ich mit dieser Gleichung anfangen soll bzw. wie ich nun konkrete Werte fuer [mm] z_{1} [/mm] bzw. [mm] z_{2} [/mm] herausbekomme. Diese brauche ich ja dann fuer b) und c).
hat vielleicht jemand einen tipp fuer mich, oder falls das total falsch ist, nen andern ansatz?? Bitte helft mir!
LG Jany :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 So 16.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo jany
> es seien A= [mm]\pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }[/mm]
> und [mm]\lambda_{1}=cos\alpha+i*sin\alpha, \lambda_{2}=cos\alpha-i*sin\alpha.[/mm]
>
> Loesen Sie das homogene lineare Gleichungssystem ueber dem
> Koerper [mm]\IC[/mm] fuer j [mm]\in[/mm] {1,2}. (E ist die 2x2
> Einheitsmatrix)
>
> [mm](A-\lambda_{j}*E)* \vektor{z_{1} \\ z_{2}}= \vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> Geben Sie fuer jeden Loesungsraum [mm]Loes(A-\lambda_{j}*E, \vektor{0 \\ 0}),[/mm]
> (j [mm]\in[/mm] {1,2}) eine Basis an.
> Es sie S [mm]\in \IC^{2x2}[/mm] eine Matrix, deren j-te Spalte ein
> Basisvektor des Loesungsraums [mm]Loes(A-\lambda_{j}*E, \vektor{0 \\ 0}),[/mm]
> (j [mm]\in[/mm] {1,2}) ist. Berechnen Sie [mm]S^{-1}[/mm] und [mm]S^{-1}*A*S.[/mm]
> hallo ihr lieben.
> bin mit dieser aufgabe schon ganz am verzweifeln.. da
> meine ersten probs schon bei a) anfangen, bin ich auch
> leider noch nicht sehr weit gekommen..
>
> hab zuerst das gleichungssystem aufgestellt.
> fuer [mm]\lambda_{1}:[/mm]
>
> [mm](A-\lambda_{1}*E)*\vektor{z_{1} \\ z_{2}}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -i*sin\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & -i*sin\alpha }*\vektor{z_{1} \\ z_{2}}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> I. [mm]-i*sin\alpha*z_{1}-sin\alpha*z_{2}=0[/mm]
> II. [mm]sin\alpha*z_{1}-i*sin\alpha*z_{2}=0[/mm]
>
> fuer [mm]\lambda_{2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ i*sin\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & i*sin\alpha }*\vektor{z_{1} \\ z_{2}}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> III. [mm]i*sin\alpha*z_{1}-sin\alpha*z_{2}=0[/mm]
> IV. [mm]sin\alpha*z_{1}+i*sin\alpha*z_{2}=0[/mm]
>
> Ist das soweit erstmal richtig?
Ja!
> Jetzt koennte ich I.+III. und II.+IV. rechnen und kaeme
> auf:
>
> V. [mm]-2*sin\alpha*z_{2}=0[/mm]
> VI. [mm]2*sin\alpha*z_{1}=0[/mm]
>
> diese beiden addiert ergibt:
>
> [mm]sin\alpha*(-2*z_{2}+2*z_{1})=0[/mm]
Das heisst die 2 Gleichungen sind lin. abhängig bzw proportional!
d.h. du hast nicht 1 Lösung sondern einen Lösungsraum:
gib z1 beliebig vor, dann ergibt sich daraus mit der 1. oder der 2. Gleichung z2!
sonst ist ja auch die 2. Aufgabe sinnlos!
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:41 So 16.04.2006 | | Autor: | Janyary |
hallo leduart,
vielen dank erstmal fuer deine antwort. bin deinem tipp auch gleich mal gefolgt.
wenn ich also gleichung I. und II. betrachte, komme ich auf, [mm] z_{1}=i*z_{2}
[/mm]
die Loesung des GLS waer demzufolge:
[mm] Loes(A-\lambda_{1}*E, \vektor{0 \\ 0})=\{ \vektor{i*z_{2} \\ z_{2}}, z_{2}\in \IC \}
[/mm]
bei Gleichung III. und IV. komme ich auf [mm] z_{1}=i^{-1}*z_{2} [/mm] und
[mm] Loes(A-\lambda_{2}*E, \vektor{0 \\ 0})=\{ \vektor{i^{-1}*z_{2} \\ z_{2}}, z_{2} \in \IC \}
[/mm]
stimmt das?
zu b)
pro Loesungsraum hab ich also einen Basisvektor, fuer [mm] \lambda_{1}:
[/mm]
[mm] v_{1}=\vektor{i \\1}
[/mm]
und fuer [mm] \lambda_{2}:
[/mm]
[mm] v_{2}=\vektor{i^{-1} \\ 1}
[/mm]
zu c)
dort heisst es ja die j-te spalte meiner matrix ist ein basisvektor des loesungsraums.
also ist S= [mm] \pmat{ i & i^{-1} \\ 1 & 1 }
[/mm]
richtig?
[mm] S^{-1} [/mm] ist dabei die Inverse zu S oder? Wenn ich das berechne komme ich auf:
[mm] S^{-1}= \pmat{ -\bruch{i}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{i}{2} & \bruch{1}{2} }
[/mm]
Jetzt soll ja noch [mm] S^{-1}*A*S [/mm] berechnet werden..
[mm] \pmat{ -\bruch{i}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{i}{2} & \bruch{1}{2} }* \pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }* \pmat{ i & i^{-1} \\ 1 & 1 }=
[/mm]
[mm] \pmat{ \bruch{1}{2}*(-i*cos\alpha+sin\alpha) & \bruch{1}{2}*(i*sin\alpha+cos\alpha) \\ \bruch{1}{2}*(i*cos\alpha+sin\alpha) & \bruch{1}{2}*(-i*sin\alpha+cos\alpha) }* \pmat{ i & i^{-1} \\ 1 & 1 }=
[/mm]
[mm] \pmat{ cos\alpha+i*sin\alpha & 0 \\ 0 & cos\alpha+\bruch{1}{i}*sin\alpha }
[/mm]
Ist das so jetzt alles korrekt?? Waer wirklich super, wenn jemand zeit findet, sich das durchzuschaun.
LG Jany :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 20.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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