LGS in IZ3 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Fr 01.02.2008 | | Autor: | MALPI |
| Aufgabe | Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
2x + 2y + z = 2
2x + y + 2z = 1
y + 2z = 1
über [mm] \IZ3 [/mm] |
Hallo,
erstmal danke für das Interesse. Bin schon länger hier unterwegs und stöber hier und hab bis jetzt eigentlich immer ein Thema gefunden was mir weiter geholfen hat, aber diesmal leider nicht. :(
Aufgabenstellung wie oben.
Mein Problem ist das ich nicht recht weis wie ich das Modulo 3 nun anwende. Also ich schreibe mal meine Lösung:
I 2x+2y+ z =2
II 2x+ y+2z = 1
III y+2z =1
I *(-1) + II =>
I 2x+2y+ z =2
II - y+ z =-1
III y+2z =1
II + III =>
I 2x+2y+ z =2
II - y+ z =-1
III z = 0
=> x = 0; y = 1; z=0
Nun aber meine Frage im letzten Schritt bei II habe ich ja - y+ z =-1
aber -1 modulo 3 = 0 also muss ich da eine 0 hin schreiben oder?
Bzw ein andere Grundsätzliche Frage. Wenn ich in so einem LGS rumrechne und ich z.b. eine Multiplikation einer Zeile durchführe und ich den Koeffizienten von x eliminieren will, muss ich dann mit dem Inversen Element multiplizieren?
Also lange Rede kurzer Sinn, mir fehlt hier das Verständnis wie ich solche Aufgaben löse.
Freue mich auf Antworten.
MfG
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Fr 01.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist -1 in Z3? die Zahl, zu der man 1 addieren muss um 0 zu kriegen! also ist -1=2mod3 denn 2+1=3=0 wie kommst du auf 0? dann hättest du ja deine erste Gleichung mit 0 multipliziert.
Natürlich kann man in Z3 auch mit negativen Zahlen rechnen, wenn man weiss, was sie bedeuten! besser ist es mit den Inversen zu rechnen.
also I*2+II rechnen oder einfach I-II dabei heisst subtrahieren das aditiv inverse addieren
also :I*2: 4x+4y+2z=4 <==> x+y+2z=1
II 2x+y+2z=1
addiert:3x+2y+4z=2 <==> 2y+z=2
III y+2z=1
addiert 0=0
kommst du jetzt weiter?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 01.02.2008 | | Autor: | MALPI |
Also ich habe jetzt II-I gerechnet und dann III+II und habe dann in III folgendes stehen:
3z=0 <==> 0z=0
sehe ich richtig nicht wahr? Also so wie du es vorgeschlagen hast.
Danke erstmal dafür.
Aber richtig verstehen tu ich das immer noch nicht.
Angenommen, ich habe folgendes LGS:
3x1 + x2 + 4x3 = 4
x1 + 3x2 + 5x3 = 1
4x1 + 2x2 + x3 = 0
in [mm] \IZ [/mm] 7
Ich würde nun addhock die erste gleichung mal 5 rechnen und habe dann für x1 15 mod 7 = 1
schreibe ich dann die erste zeile einfach so auf oder wie mache ich das? Oder mutlipliziere ich mit -5 und addiere dann mit der 2. Gleichung?! Also multipliziert mit der negativen Inversen und dann addiert.
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Sabah |
> Angenommen, ich habe folgendes LGS:
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> 3x1 + x2 + 4x3 = 4
> x1 + 3x2 + 5x3 = 1
> 4x1 + 2x2 + x3 = 0
>
> in [mm]\IZ[/mm] 7
>
> Ich würde nun addhock die erste gleichung mal 5 rechnen und
> habe dann für x1 15 mod 7 = 1
Du kannst beides machen. Ziel ist ja den Matrix in eine Obere Dreieckmatrix zu bringen.
Wenn du die erste zeile nur mit 5 rechnest, hast du nur die erste zeile geändert. Dein ziel ist ja das untere also, 2. und 3. Zeile 0 zu machen. Deswegen muss du die erste zeile mal 2, dann auf die 2. Zeile addieren.
Du muss ja eine Zahl finden, so das [mm] 3\*X+1=0 [/mm] ist. ( das ist 2, oder -5, oder,.... oder ....oder,...)
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 4 & 4\\ 1 & 3 & 5 & 4\\ 4 & 2 & 1 & 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 4 & 4\\ 0 & 5 & 6 & 5\\ 4 & 2 & 1 & 0}
[/mm]
> schreibe ich dann die erste zeile einfach so auf oder wie
> mache ich das? Oder mutlipliziere ich mit -5 und addiere
> dann mit der 2. Gleichung?! Also multipliziert mit der
> negativen Inversen und dann addiert.
>
> MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Sa 02.02.2008 | | Autor: | MALPI |
Also darf ich, anders als beim LGS sonst, auch eine Zeile explizit ändern?
Denn sonst multipliziere ich ja eine Zeile und addiere sie mit einer anderen. Die Zeile die ich aber multipliziert habe schreibe ich ja im nächste schritt wieder normal hin, also nicht multipliziert.
Sehe ich das richtig?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Sa 02.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Auch das normale (in [mm] R^n) [/mm] Gaussverfahren besteht doch darin, ein Vielfaches der 1.ten Zeile zu den anderen zu addieren, um die Nullen in der ersten Spalte zu erhalten.
dabei behält man i.A. dann die erste Zeile unverändert bei.
(aber auch wenn du sie mit irgendwas multipl. stehen lässt, ändert das ja an dem LGS nichts.
wenn man in [mm] IZ^p [/mm] rechnet, lohnt es sich meist als Repräsentanten nur aus den Kandiaten [mm] 0\lez
20-5 mod 7 zu rechnen. Aber da die Rechnung ja unabh. vom Repräsentanten ist ist das reine Geschmacksache. Nur Fehler, wie du sie in der 1.ten Aufgabe gemacht hast sind erfahrungsgemäß seltener.
Im übrigen gehst du ganz genauso vor wie bei "normalen" LGS.
noch ne Warnung : nie dividieren, immer mit dem Mult. Inversen multiplizieren.
also etwa in [mm] \IZ^7 [/mm] aus 3z=1 nicht z=1/3 sondern wegen 5*3=1 folgt 15z=5 also z=5
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 02.02.2008 | | Autor: | MALPI |
| Aufgabe | Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
x + z = 0
x + y = 1
x + y + z = 0
über [mm] \IZ2. [/mm] |
Ok, danke erstmal. Ich denke ich hab das soweit verstanden. Ich poste jetzt hier mal meine Lösung für die erste Aufgabe ich hoffe ich habs richtig gemacht.
Ich habe für:
x = 2-3*t-2=-3t=t
y=t+1
z = t
Habe jetzt auch noch eine weitere Aufgabe, die ich beigefügt habe, hoffentlich richtig gelöst:
x=y=z=1
Könnt ihr mir bitte sagen ob das so korrekt ist?
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Sabah |
> Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
> x + z = 0
> x + y = 1
> x + y + z = 0
> über [mm]\IZ2.[/mm]
> Ok, danke erstmal. Ich denke ich hab das soweit
> verstanden. Ich poste jetzt hier mal meine Lösung für die
> erste Aufgabe ich hoffe ich habs richtig gemacht.
> Habe jetzt auch noch eine weitere Aufgabe, die ich
> beigefügt habe, hoffentlich richtig gelöst:
>
> x=y=z=1
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn du oben für x,y,z die 1 einsetz, kommst du nicht auf den richtigen ergebnis.
[mm] \Rightarrow [/mm] F alsch
> Könnt ihr mir bitte sagen ob das so korrekt ist?
bei mir kommst
x=1
y=0
z=1
raus
>
> MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Sa 02.02.2008 | | Autor: | MALPI |
Nunja dann habe ich folgendes Verständnis Problem:
Mein ERgebnis dazu lautet ürsprünglich x=1 y= 0 z =-1
Womit die Gleichung aufgeht. Aber -1 ist in [mm] \IZ2 [/mm] doch net definiert da nur die zahlen von 0...n-1 <=> 0 und 1 vorhanden sind?!
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Sa 02.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
-1+1=0 daraus in [mm] \IZ^2 [/mm] -1=1 denn 1+1=0
meinen Rat nur die positiven Repräsentanten zu nehmen scheint dir nicht einzuleuchten! du musst lernen mit additiven Inversen umzugehen! Was soll denn -1 in [mm] \IZ^2 [/mm] sein ausser 1?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Sa 02.02.2008 | | Autor: | MALPI |
Ok nun ist der Groschen gefallen, hat ja auch lang genug gedauert. Stand irgendwie auf der Leitung.
Danke für die Geduld und Hilfe!
Lösung Aufgabe1:
x= 0; y = t+1; z = t
Lösung Aufgabe2:
x = 1; y = 0; z = 1
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Sa 02.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf dies komische x?
I+III daraus direkt y=0 aus II dann x=1, daraus aus I z=1
die 2 möglichen Werte für t nämlich 0 und 1 mal einzusetzen, hätte dir direkt gezeigt, dass was falsch ist.
Weitere Aufgaben sind da nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Sa 02.02.2008 | | Autor: | MALPI |
Die Lösung mit t ist zur ersten geposteten Aufgabe
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