LGS in Abhängigkeit < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:43 Fr 12.07.2013 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t [mm] \in [/mm] IR die Lösungsmenge des Gleichungssystems
[mm] tx_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] =1 [mm] \\
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] + [mm] tx_2 [/mm] + [mm] x_3 =1\\
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] tx_3 [/mm] = 1 |
Hallo :)
soo mein erster Schritt:
[mm] \begin{pmatrix}
t & 1 & 1 | 1\\
1 & t & 1 |1\\
1 & 1 & t |1
\end{pmatrix}
[/mm]
II*t dann II-I
III*t dann III-I
[mm] \begin{pmatrix}
t & 1 & 1 | 1\\
0 & (t^2-1) & (t-1) |(t-1)\\
0 & (t-1) & (t^2-1) |(t-1)
\end{pmatrix}
[/mm]
dann III*(t+1) dann -II
[mm] \begin{pmatrix}
t & 1 & 1 | 1\\
0 & (t^2-1) & (t-1) |(t-1)\\
0 & 0 & (t^3+t^2-t-1) |(t^2-t)
\end{pmatrix}
[/mm]
wenn t = 0 ist, dann gibt es keine Lösung stimmt das?
wenn t= 1 ist, gibt es unendlich viele Lösungen?
und wann gibt es nur eine Lösung?
oder habe ich oben was falsches gemacht?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:58 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t [mm]\in[/mm] IR die
> Lösungsmenge des Gleichungssystems
>
>
> [mm]tx_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] =1 [mm]\\[/mm]
> [mm]x_1[/mm] + [mm]tx_2[/mm] + [mm]x_3 =1\\[/mm]
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]tx_3[/mm] = 1
> Hallo :)
>
> soo mein erster Schritt:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
t & 1 & 1 | 1\\
1 & t & 1 |1\\
1 & 1 & t |1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> II*t dann II-I
> III*t dann III-I
>
> [mm]\begin{pmatrix}
t & 1 & 1 | 1\\
0 & (t^2-1) & (t-1) |(t-1)\\
0 & (t-1) & (t^2-1) |(t-1)
\end{pmatrix}[/mm]
>
soweit richtig.
> dann III*(t+1) dann -II
>
Dieses -II hast du nur in der zweiten Spalte ausgeführt.
> [mm]\begin{pmatrix}
t & 1 & 1 | 1\\
0 & (t^2-1) & (t-1) |(t-1)\\
0 & 0 & (t^3+t^2-t-1) |(t^2-t)
\end{pmatrix}[/mm]
>
> und wann gibt es nur eine Lösung?
Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Fr 12.07.2013 | | Autor: | fred97 |
Manchmal ist die Bestimmung der Stufenform gar nicht so vorteilhaft !
Ist t=1, so haben wir nur eine Gleichung: [mm] x_1+x_2+x_3=1. [/mm] Das LGS hat also unendlich viele Lösungen und die Lösungsmenge ist die Ebene mit der Gl. [mm] x_1+x_2+x_3=1.
[/mm]
Sei t [mm] \ne [/mm] 1.
Subtrahiert man von der ersten Gl. die zweite und subtrahiert man von der zweiten Gl. die dritte, so bekommt man:
[mm] (t-1)x_1+(1-t)x_2=0
[/mm]
[mm] (t-1)x_2+(1-t)x_3=0,
[/mm]
und damit, wegen t [mm] \ne 1,:x_1=x_2=x_3. [/mm] Eingesetz in die erste Gl. liefert dies_
[mm] (t+2)x_1=1.
[/mm]
Ist t=-2, so ist das LGS unlösbar.
Ist t [mm] \ne [/mm] -2 und t [mm] \ne [/mm] -1, so ist das LGS eindeutig lösbar:
[mm] x_1=x_2=x_3=\bruch{1}{t+2}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Fr 12.07.2013 | | Autor: | capri |
ok danke :)
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