LGS Lösung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 So 04.07.2010 | | Autor: | Xeddon |
Hallo,
ich weis nicht genau was mit "spezielle Lösung x2 = 0" gemeint ist.
Aus (a) hab ich für die allgemeine Lösung:
X = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + S [mm] \vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0} [/mm] : s, t [mm] \in \IR [/mm] belibig
In der Vorlesung wurde mal eine spezielle Lösung gezeigt z.B t=1 und dann für t die 1 eingesetzt. Das war allerdings bei einer Lösung mit einem frei wählbaren Parameter. Hier sind es zwei.
Dazu kommt noch das in der Aufgabenstellung "x2" womit wahrscheinlich nicht s oder t gemeint ist.
Gruß
xeddon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 So 04.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ![[]](/images/popup.gif) http://fbmn.h-da.de/~ochs/mathe2/uebungen/testklausur4.pdf
>
> Aufgabe 2c
> "Geben Sie eine spezielle Lösung des LGS aus (a) mit x2 =
> 0 an."
> Hallo,
>
> ich weis nicht genau was mit "spezielle Lösung x2 = 0"
> gemeint ist.
> Aus (a) hab ich für die allgemeine Lösung:
>
> X = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + S [mm]\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + t [mm]\vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm] : s, t [mm]\in \IR[/mm] belibig
>
> In der Vorlesung wurde mal eine spezielle Lösung gezeigt
> z.B t=1 und dann für t die 1 eingesetzt. Das war
> allerdings bei einer Lösung mit einem frei wählbaren
> Parameter. Hier sind es zwei.
> Dazu kommt noch das in der Aufgabenstellung "x2" womit
> wahrscheinlich nicht s oder t gemeint ist.
also Deine Lösung(smenge) ist korrekt, besser (im mathematischen Sinne) schreibt man das als
[mm] $$U_{\text{aff.}}:=\left\{\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+ s*\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1} + t* \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0}: s, t \in \IR\right\}\,,$$
[/mm]
denn dann erkennt man auch, dass Deine Lösungsmenge [mm] $U_{\text{aff.}}\,$ [/mm] ein affiner Unterraum des [mm] $\IR^4$ [/mm] ist.
Nun gilt
[mm] $$U_{\text{aff.}}=\left\{\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} \in \IR^4:\;\;\exists s,t \in \IR \text{ mit }\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+ s*\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1} + t* \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0}\right\}\,.$$
[/mm]
Der Aufgabensteller meint nun mit "spezieller Lösung mit [mm] $x_2=0$" [/mm] nichts anderes, als dass Du ein [mm] $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T \in U_{\text{aff.}}$ [/mm] angeben sollst, wo die zweite Komponente (das ist dann ja [mm] $x_2$) [/mm] verschwindet.
Solch' ein [mm] $\vec{x} \in U_{\text{aff.}}$ [/mm] erhältst Du mit
[mm] $$\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+ s*\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t* [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0}$$
[/mm]
z.B., indem Du speziell [mm] $s:=1\,$ [/mm] und [mm] $t:=0\,$ [/mm] setzt (alternativ: [mm] $s:=-1\,$ [/mm] und $t:=1$).
Natürlich kannst Du auch hergehen, und sagen
[mm] $$\vec{x} \in U_{\text{aff.}} \text{ mit }x_2=0$$
[/mm]
$$ [mm] \gdw \vec{x}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+ s*\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t* [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0} \text{ und }-1+s+2t=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \vec{x}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0}+ s*\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t* [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0} \text{ und }s=1-2t$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \vec{x}=\vektor{2\\-1\\0\\0}+\vektor{-3 \\ 1 \\ 0 \\ 1}-t*\vektor{-6 \\ 2 \\ 0 \\ 2}+t* \vektor{-2 \\ 2 \\ 1 \\ 0}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \vec{x}=\vektor{-1\\0\\0\\1 }+t*\vektor{4\\0\\1\\-2}\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $U_g:=\left\{\vec{x}=\vektor{-1\\0\\0\\1 }+t*\vektor{4\\0\\1\\-2}: \;t \in \IR\right\}$ [/mm] eine (verschobene Ursprungs-) Gerade (also wieder ein affiner Unterraum) des [mm] $\IR^4$ [/mm] ist (mit [mm] $U_g \subseteq U_{\text{aff.}}$). [/mm] Damit erfüllst Du sogar mehr, als verlangt. Aber eigentlich ist es nur Deine Aufgabe, irgendeinen Punkt der letztgenannten Geraden konkret anzugeben.
Für [mm] $t=0\,$ [/mm] erhältst Du hier wieder speziell [mm] $\vec{x}=(-1,0,0,1)^T\,,$ [/mm] und für [mm] $t=1\,$ [/mm] folgt [mm] $\vec{x}=(3,0,1,-1)^T\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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