LGS 2 Gl 3 Unbekannte - Gauss < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Do 15.06.2006 | | Autor: | Tea |
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Hi!
Ich soll die Lösung für [mm] \pmat{1 & 1 & -2 & | -4 \\ 2 & 2 & -1 & | -1} [/mm] finden.
Mein Ansatz:
[mm] \pmat{1 & 1 & -2 & | -4 \\ 2 & 2 & -1 & | -1} [/mm] --> (1.Zeile * (-2), 1.+2.)
[mm] \pmat{1 & 1 & -2 & | -4 \\ 0 & 0 & 3 & | -9} [/mm] --> [mm] x_{3}=-3
[/mm]
Jetzt komm ich aber nicht mehr weiter weil ich ja zwei identische Zeilen mit mindestens 2 Unbekannten habe.
Ich kann ja jetzt für x1 oder x1 was wählen, aber wie genau läuft das ab ?
Sorry, hab echt keine Ahnung....
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo Tea, ...
das ist eigentlich recht einfach. Du hast also
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -1} x = \pmat{ -4 \\ -1 } , x \in \IR^{3} [/mm]
Nun wendest du GAUSS darauf an, und erhälst folgendes (Da hast du z.B. einen Rechenfehler gemacht -> (-2)(-4) - 1 = 8 - 1 = 7
Du erhälst also
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 3}x = \pmat{ -4 \\ 7} , x \in \IR^{3} [/mm]
Nun weist du zweilerlei Sachen:
1. Der Rang deiner Koeffizientenmatrix ist 2 und daraus folgt, dass dein Gleichungssystem einen freien Parameter hat
2. [mm] x_{3} = \bruch{7}{3} [/mm]
Wir wählen unser [mm] x_{1} = a [/mm] als freien Parameter und erhalten somit
[mm] a + x_{2} - \bruch{14}{3} = -4 [/mm]
daraus folgt nun: [mm] x_{2} = \bruch{2}{3} - a [/mm]
Als Lösungsmenge kannst du das auch so schreiben:
[mm] L = \{ \pmat{ a \\ \bruch{2}{3} - a \\ \bruch{7}{3}} , a \in \IR \} [/mm]
D.h. du hast unendlich viele Lösungen. Die obere Form stellt dir diese mittels dem a (freien Parameter) dar.
Ich hoffe du verstehst diese Rechnung und sie hilft dir damit weiter
mfG Zaed
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