LGS - Probe regulärer Fall < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:09 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Romario |
| Aufgabe | (i) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von dem Parameter a ∈ IR die allgemeine
Lö̈sung des linearen Gleichungssystems Ax = b, das folgende Gestalt aufweist
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 4x_3 [/mm] = 1
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 9x_3 [/mm] = 1
[mm] x_1 [/mm] + [mm] ax_2 [/mm] + [mm] a^{2} x_3 [/mm] = a − 1.
(ii) Machen Sie die Probe für den regulären Fall, d.h. setzen Sie im regulären
Fall die berechnete Lösung in das Gleichungssystem ein. Regulär bedeutet hierbei, dass eine eindeutig bestimmte Lösung existiert.
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Hallo zusammen,
stehe bei dieser eher einfachen Aufgabe irgendwie auf dem Schlauch.
Ich habe bis jetzt folgendes gerechnet:
zu (i): Ich habe die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht -> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & | 1 \\ 0 & -1 & -5 & | 0 \\ 0 & 0 & -a^{2}+5a-6 & | -a+2}
[/mm]
Dann habe ich durch Umstellen der letzten Zeile rausgefunden, dass das LGS für a = 2 nicht eindeutig lösbar ist und für a = 3 nicht lösbar ist.
Daraus kann man doch dann folgern, dass das LGS für alle a [mm] \in \IR \setminus \{2,3\} [/mm] eine eindeutige Lösung besitzt, oder?
Und jetzt meine Frage:
1) Wie bestimme ich denn jetzt die allgemeine Lösung? Einfach nach [mm] x_3 [/mm] auflösen und den resultierenden Term in die anderen Gleichungen einsetzen?
2) Das mit der Probe verstehe ich auch nicht. Ein regulärer Fall wäre doch z.B. a = 1, da dann eine eindeutige Lösung existiert. Muss ich dann also einen Wert für a != 2 und a != 3 "raussuchen" und den in die Matrix einsetzen? Und dann?
Vielen Dank im Voraus.
Ich hoffe, es kann jemand Licht ins Dunkel bringen (wie schon so oft).
Viele Grüße
Romario
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> (i) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von dem Parameter a
> ∈ IR die allgemeine
> Lö̈sung des linearen Gleichungssystems Ax = b,
> das folgende Gestalt aufweist
> [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]4x_3[/mm] = 1
> [mm]x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] + [mm]9x_3[/mm] = 1
> [mm]x_1[/mm] + [mm]ax_2[/mm] + [mm]a^{2} x_3[/mm] = a
> − 1.
>
> (ii) Machen Sie die Probe für den regulären Fall, d.h.
> setzen Sie im regulären
> Fall die berechnete Lösung in das Gleichungssystem
> ein. Regulär bedeutet hierbei, dass eine eindeutig
> bestimmte Lösung existiert.
>
>
> Hallo zusammen,
>
> stehe bei dieser eher einfachen Aufgabe irgendwie auf dem
> Schlauch.
>
> Ich habe bis jetzt folgendes gerechnet:
>
> zu (i): Ich habe die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht
> -> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 & | 1 \\ 0 & -1 & -5 & | 0 \\ 0 & 0 & -a^{2}+5a-6 & | -a+2}[/mm]
>
> Dann habe ich durch Umstellen der letzten Zeile
> rausgefunden, dass das LGS für a = 2 nicht eindeutig lösbar
> ist und für a = 3 nicht lösbar ist.
Hi,
hab das ganze mal mit der Determinante berechnet und habe herausgefundetn ,dass es bei a=3 v a=2 keine eindeutige Lösung gibt.
Die Umformungen habe ich genauso wie du.
>
> Daraus kann man doch dann folgern, dass das LGS für alle a
> [mm]\in \IR \setminus \{2,3\}[/mm] eine eindeutige Lösung besitzt,
> oder?
Ja:
für x=2 wird die unterste Zeile zu 0=0, also eine sog. "gutartige Nullzeile", also unendlich viele Lösungen.
für x=3 wird die unterste Zeile zu 0=-1, also eine so.g "bösartige Nullzeile", also keine Lösung.
Für alle anderen x gibt es eine eindeutige Lösung.
>
>
>
>
> Und jetzt meine Frage:
>
> 1) Wie bestimme ich denn jetzt die allgemeine Lösung?
> Einfach nach [mm]x_3[/mm] auflösen und den resultierenden Term in
> die anderen Gleichungen einsetzen?
Kannst du machen,ja. Du kannst aber auch weiter versuchen, auf der Diagonalen überall eine 1 stehen zu haben, und dann über und unterhalb der Diagonale eine 0. Also noch den Gauß-Alogrithmus weiter verfolgen.
Dabei wirst du dann irgendwann mal durch die [mm] $-a^2+5a-6$ [/mm] teilen müssen, und das drafst du ja nur, wenn der Term ungleich Null ist. Und das ist er auch nur, wenn a eben nicht gleich zwei oder drei ist...
>
> 2) Das mit der Probe verstehe ich auch nicht. Ein regulärer
> Fall wäre doch z.B. a = 1, da dann eine eindeutige Lösung
> existiert. Muss ich dann also einen Wert für a != 2 und a
> != 3 "raussuchen" und den in die Matrix einsetzen? Und
> dann?
Du kannst unendlich viele Möglichkeiten für a einsetzten, und das für jedes a beweisen. Oder eben Probehalber für a=1 einsetzten oder so, und dann deine Lösung herausbekommen.
Du kannst aber auch allgemein lösen, und dann für [mm] x_1-x_3 [/mm] deine errechnete Lösung einsetzten, und dann gucken, ob sich das alles so auflöst, wie es soll.
Das würde ich auf Uni-Niveau vorziehen, die Probe dann auch allgemein zu machen.
>
>
> Vielen Dank im Voraus.
> Ich hoffe, es kann jemand Licht ins Dunkel bringen (wie
> schon so oft).
Ich hoffe, dass ich dir ein wenig helfen konnte.
>
> Viele Grüße
> Romario
>
LG
Kroni
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