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auch hier verzweifel ich ein wenig:
Gegeben sei das LGS mit dem Parameter a [mm] \in \IR:
[/mm]
[mm] \pmat{ a & 6 & 9 \\ a & a & -6 \\ 1 & 2 & a} \* \vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Für welches a [mm] \in \IR [/mm] hat das LGS keine/eine/viele Lösungen?
(Es ist nicht gefragt, welche Lösung das LGS hat!)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MisterSarotti!
Hier geht's in erster Linie um lineare Abhängigkeit. In jedem Fall ist [mm] $\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] eine Lösung.
Wie du am besten vorgehst hängt davon ab, was ihr in der Schule durchgenommen habt. Ich bin mir aber ziemlich sicher, dass ihr gezeigt habt, dass es bei einem solchen homogenen LGS genau dann unendlich viele Lösungen gibt, wenn die Determinante von [mm] $A(a):=\pmat{a&6&9\\a&a&-6\\1&2&a}$ [/mm] gleich $0$ ist. Diese Determinante ist eine Polynom vom Grad $3$ in $a$. Du musst also erst einmal ein $a$ finden, für das [mm] $\det(A(a))=0$, [/mm] dann kannst du Polynomdivision machen.
Eine andere Methode ist, das Gleichungssystem durch geeignetes Addieren und Subtrahieren der Zeilen auf Dreiecksform zu bringen.
Ich hoffe, dass dir das ein bisschen weiterhilft, sonst gebe ich gerne noch ein paar Tipps.
Gruß, banachella
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Zielen denn deine Methoden darauf ab, das ich keine konkreten Lösungen bekomme, sondern nur für welche a´s es keine(eine/viele Lösungen gibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, noch einmal:
Mindestens eine Lösung hat das homogene LGS immer, nämlich [mm] $\pmat{0 \\ 0 \\ 0}$.
[/mm]
Die Frage ist jetzt, wann es genau eine Lösung hat und wann unendlich viele.
Um dies festzustellen, gibt es zwei Möglichkeiten:
Möglichkeit 1
Du berechnest die Determinante der Matrix ist Abhängigkeit von $a$. Genau für diejenigen $a$, für die die Determinante gleich $0$ ist, gibt es unendlich viele Lösungen. Genau für diejenigen $a$, für die die Determinante ungleich $0$ ist, gibt es genau eine Lösung.
Möglichkeit 2
Du bringst die Matrix auf Zeilenstufenform (obere Dreiecksmatrix, Stichwort: Gauß-Algorithmus). Genau für diejenigen $a$, wo die letzte Zeile der entstandenen Matrix eine komplette Nullzeile ist, gibt es unendlich viele Lösungen. Genau für diejenigen $a$, wo die letzte Zeile der entstandenen Matrix keine Nullzeile ist, gibt es genau eine Lösung.
Viele Grüße
Julius
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