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L^1 usw.: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Do 07.04.2005
Autor: Bastiane

So, das dürfte jetzt erstmal die letzte sein... ;-)

Es seien [mm] f\in L^1(\IR) [/mm] und [mm] g\in L^2(\IR) [/mm] gegeben. Beweisen Sie, dass dann für die durch [mm] h(x)=(f\*g)(x) [/mm] definierte Funktion gilt: [mm] h\in L^2(\IR). [/mm]

Da haben wir überlegt, ob es irgendeine Regel gibt, dass z. B.:
[mm] f\in L^1 \Rightarrow f\in L^2 [/mm]
oder genau umgekehrt?

Und wie könnte man dann weiter beweisen? Es dürfte nicht allzu schwierig  sein, denn dafür gab's in der Klausur am wenigsten Punkte...

Wär' schön, wenn mir jemand helfen könnte.

Viele Grüße
Bastiane
[bahnhof]

        
Bezug
L^1 usw.: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Do 07.04.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Bist du sicher, dass du alles richtig abgeschrieben hast?

Wenn ja, dann stehe ich gerade auf dem Schlauch... [haee]

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
L^1 usw.: richtig abgeschrieben
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:45 Do 07.04.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!

Ja, die Aufgabenstellung habe ich richtig abgeschrieben - unsere Überlegung kann natürlich totaler Blödsinn sein.
Ist aber auch nicht so schlimm, wenn du mir dabei nicht helfen kannst - einiges anderes kann ich jetzt, und vielleicht kommt so eine Aufgabe ja auch nicht. ;-)

Viele Grüße
Christiane
[sunny]

Bezug
        
Bezug
L^1 usw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 Fr 08.04.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Du darfst nachher ruhig bei mir vorbeikommen und mir eins auf die Mütze geben. [bonk]

Wie konnte ich dieses Aufgabe bitte gestern nicht hinbekommen???

Sie ist wirklich megaeinfach. [kopfschuettel]

Also:

[mm] $\int [/mm] |(f [mm] \*g)(x)|^2\, [/mm] dx$

$= [mm] \int [/mm] | [mm] \int f(y)g(x-y)\, dy|^2\, [/mm] dx$.

So und jetzt werden wir auf den äußeren Integranden:

$x [mm] \mapsto |\int f(y)g(x-y)\, dy|^2$ [/mm]

die Transformation $x [mm] \mapsto [/mm] x+y$ an und erhalten:

[mm] $\int [/mm] | [mm] \int f(y)g(x-y)\, dy|^2\, [/mm] dx$

[mm] $=\int [/mm] | [mm] \int [/mm] f(y) [mm] g(x)\, dy|^2\, [/mm] dx$

[mm] $\le \int |g(x)|^2 \left(\int |f(y)|\, dy\right)^2\, [/mm] dx$

$= [mm] \left( \int |f(y)| \, dy \right)^2 \cdot \int|g(x)|^2\, [/mm] dx$

$< [mm] \infty$. [/mm]

Ich schäme mich das gestern nicht gesehen zu haben. [peinlich] [verlegen] [konfus]

Hoffentlich war es noch rechtzeitig vor deiner Klausur.

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
L^1 usw.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:14 Fr 08.04.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!

> Du darfst nachher ruhig bei caesar vorbeikommen und mir
> eins auf die Mütze geben. [bonk]

Nein, danke - es regnet gerade. ;-)

> Sie ist wirklich megaeinfach. [kopfschuettel]

Das scheint wirklich nicht so schwierig gewesen zu sein, aber wir hatten es auch zu drei Leuten in einer halben Stunde nicht hinbekommen... War aber nicht ganz so wichtig, glaube ich.

> Ich schäme mich das gestern nicht gesehen zu haben.
> [peinlich] [verlegen] [konfus]

Ach, mach dir keine Sorgen, auch dem besten Mathematiker fällt schon mal was nicht ein.

> Hoffentlich war es noch rechtzeitig vor deiner Klausur.

Naja, das nicht - aber ich brauchte es auch nicht. :-)

Danke.
Viele Grüße
Christiane
[sunny] <- damit der Regen bald aufhört ;-)

Bezug
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