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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:24 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Also es geht um folgende Aufgabe
Welche Beziehung muss zwischen b und c bestehen, damit die ganzrationale Funktion 3.Grades [mm] f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d [/mm] (b,c,d [mm] \in\IR)
[/mm]
a)genau einen Hoch-und Tiefpunkt besitzt
b)genau einen Sattelpunkt besitzt
c)weder einen Hoch-und Tiefpunkt noch einen Sattelpunkt besitzt?
Das Problem ist,ich weiß überhaupt nicht wie ich an die Aufgabe ran soll.Kann mir jemand bitte eine kleine Hilfe geben, damit ich weiß wie ich weiterrechnen kann??
Danke^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Rechne doch einfach mal los und bestimme für die gegebene Funktion die entsprechenden Hoch-, Tief- und Sattelpunkte.
Wie lauten da die entsprechenden x-Werte? Und dann sollte man sich Gedanken machen, wann dafür (in Abhängigkeit von b, c und d) auch wirklich Lösungen existieren.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Di 29.01.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok, das selbe hab ich mir eben auch gedacht,dass ich vieleicht einfach ma losrechnen sollte,das mach jetzt auch...thnx^^
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
So hab mich mal an die Aufgabe versucht und hab als erstes mal dei Ableitungen gebildet.
[mm] f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
[mm] f'(x)=3x^{2}+2bx
[/mm]
f''(x)=6x
Dann für Hoch oder Tiefpunkt die erste Ableitung =0 gesetzt.
[mm] 3x^{2}+2bx=0 [/mm] :3
[mm] x^{2}+2bx=0 [/mm]
Hab mir pq-Formel witergerechnet und hab [mm] x_{1}=-2bx [/mm] und [mm] x_{2}=0 [/mm] raus.
Also da [mm] x_{1} [/mm] negativ ist,müsste hier ein Hochpunkt liegen und einen Tiefpunkt gibtd es anscheinend nicht.
Stimmt das bis hier hin überhaupt so wie ich das gerechnet hab???
Dann könnt ich nämlich weitermachen...^^
lg
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Du hast bei den Ableitungen immer vergessen, dass x abgeleitet 1 und nicht 0 ist!
[mm]
f(x) = x^{3} + b*x^{2}+c*x+d
f'(x) = 3*x^{2}+2*b*x+c
f''(x) = 6*x + 2*b
[/mm]
Das grundsätzliche Vorgehen von dir war aber richtig. Du musst nun die erste Ableitung mit 0 gleichsetzen. Allerdings hast du beim ersten Umformungsschritt irgendwie nicht alle Summanden betrachtet... Wenn du durch 3 rechnest, müssen alle Summanden bzw. Subtrahenden durch 3 gerechnet werden, nicht nur der Teil, den du gerne hättest 
Also:
[mm]
f'(x) = 0
3*x^{2}+2*b*x+c = 0
x^{2} + \bruch{2}{3}*b*x+\bruch{c}{3} = 0
[/mm]
Nun wende nochmals die p/q-Formel an!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,thnx^^
habs nochmal probiert,glaub es ist wieder falsch,weil ich sowas komisches raus hab,also
nach der pq-Formel kommt [mm] x_{1}=-\bruch{4}{6}b-\wurzel{\bruch{c}{3}} [/mm]
[mm] x_{2}=-\bruch{c}{3}.
[/mm]
Dann hab ich diese x-Werte in die 2.Ableitung eingesetzt und hab [mm] -2b-6\wurzel{\bruch{c}{3}}, [/mm] ich glaub hier liegt dann ein TP vor oder?? ;)
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> ok,thnx^^
> habs nochmal probiert,glaub es ist wieder falsch,weil ich
> sowas komisches raus hab,also
> nach der pq-Formel kommt
> [mm]x_{1}=-\bruch{4}{6}b-\wurzel{\bruch{c}{3}}[/mm]
> [mm]x_{2}=-\bruch{c}{3}.[/mm]
> Dann hab ich diese x-Werte in die 2.Ableitung eingesetzt
> und hab [mm]-2b-6\wurzel{\bruch{c}{3}},[/mm] ich glaub hier liegt
> dann ein TP vor oder?? ;)
Moin,
du willst ja [mm] $x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}*b*x+\bruch{c}{3} [/mm] = 0$ mit der pq-Formel lösen.
Also ist dein [mm] $p=\bruch{2}{3}*b$ [/mm] und [mm] $q=\bruch{c}{3}$.
[/mm]
Wenn du dies nun in die pq-Formel einsetzt, erhältst du
[mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{p}{2}\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^2-q} [/mm] = [mm] -\bruch{\bruch{2}{3}*b}{2}\pm\wurzel{(\bruch{\bruch{2}{3}*b}{2})^2-\bruch{c}{3}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}b\pm\wurzel{(\bruch{1}{3}b)^2-\bruch{c}{3}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}b\pm\wurzel{\bruch{1}{9}b^2-\bruch{c}{3}}$
[/mm]
Also ist [mm] $x_1=-\bruch{1}{3}b+\wurzel{\bruch{1}{9}b^2-\bruch{c}{3}}$
[/mm]
und [mm] $x_2=-\bruch{1}{3}b-\wurzel{\bruch{1}{9}b^2-\bruch{c}{3}}$
[/mm]
Diese Terme kannst du nicht weiter vereinfachen, es sei denn du hättest konkrete Werte für b und c gegeben...
Einsetzen in $f''(x)$ ergibt:
[mm] $f''(x_1)=6*(-\bruch{1}{3}b+\wurzel{\bruch{1}{9}b^2-\bruch{c}{3}})+2b [/mm] = [mm] 6*\wurzel{\bruch{1}{9}b^2-\bruch{c}{3}}$
[/mm]
und [mm] $f''(x_2)=6*(-\bruch{1}{3}b-\wurzel{\bruch{1}{9}b^2-\bruch{c}{3}})+2b [/mm] = [mm] -6*\wurzel{\bruch{1}{9}b^2-\bruch{c}{3}}$
[/mm]
Da die Wurzel ja in jedem Fall positiv ist, ist also an der Stelle [mm] $x_1$ [/mm] ein Minimum und an der Stelle [mm] $x_2$ [/mm] ein Maximum.
Hoffe ich konnte dir helfen,
Gruß DerVogel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay danke und jetzt zurück zur eigentlichen frage:
Welche Beziehung muss zwischen b und c bestehen, damit die ganzrationale Funktion 3.Grades $ [mm] f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d [/mm] $ (b,c,d $ [mm] \in\IR) [/mm] $
a)genau einen Hoch-und Tiefpunkt besitzt
b)genau einen Sattelpunkt besitzt
c)weder einen Hoch-und Tiefpunkt noch einen Sattelpunkt besitzt?
a)Für einen Hoch-und Tiefpunkt muss b>c sein.
b)Für einen Sattelpunkt müssen beide 0 sein.
c)Für gar nix von alles dreien müssen b und c negativ sein.
???^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mi 13.02.2008 | | Autor: | oli_k |
f'(x)=3x²+2bx+c
f''(x)=6x+2b
a) Setze f'(x)=0:
$ 3*(x²+2/3bx)+c=0 $
$ 3*((x+1/3b)²-1/9b²)+c=0 $
$ 3*(x+1/3b)²-3/9b²+c=0 $
$ (x+1/3b)²=1/9b²-1/3c $
$ [mm] x=\pm\wurzel{1/9b²-1/3c}-1/3b [/mm] $
Bei einem Extrempunkt ist nun die Wurzel=0. <0 darf sie nicht sein, sprich: Wurzel muss >0 sein.
Also:
$ 1/9b²-1/3c>0 $
$ 1/9b²>1/3c $
$ b²>3c $
Für negative c gibt es also IMMER zwei Extrema. Für positive c muss dann [mm] b>\wurzel{3c}\vee b<-\wurzel{3c} [/mm] gelten.
b) Setze f'(x)=0 [mm] \vee [/mm] f''(x)=0
$ [mm] x=\pm\wurzel{1/9b²-1/3c}-1/3b \vee [/mm] 6x+2b=0 $
$ [mm] x=\pm\wurzel{1/9b²-1/3c}-1/3b \vee [/mm] x=-1/3b $
$ [mm] 0=\pm\wurzel{1/9b²-1/3c} [/mm] $
$ 0=1/9b²-1/3c $
$ 1/3c=1/9b² $
$ [mm] b=\wurzel{3c} [/mm] $
So, schaffst du c) jetzt selber?
Grüße,
Oli
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