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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Do 14.09.2006 | | Autor: | Timo17 |
Hi,
habe folgende Aufgabe,wo ich probleme habe diese zu lösen und hoffe auf eure Hilfe:
Berechnen Sie die Fläche,die von dem Graphen f(mit a=1),der negativen x-Achse,der positiven y-Achse und der Geraden x=-R(R>0) begernzt wird sowie deren Grenzwert für R gegen unendlich.
[mm] f(x)=(10*a*e^x) [/mm] / [mm] (a+e^x)
[/mm]
für a=1 --> [mm] f(x)=(10*e^x) [/mm] / [mm] (1+e^x)
[/mm]
Erst einmal die Stammfunktion von f(x) bilden oder die Stammfunktion von F(x) mit a=1?
[mm] f(x)=(10*a*e^x) [/mm] / [mm] (a+e^x)
[/mm]
Stammfunktion hier:
F(x)=10 a * [mm] [((a*e^x)-(ax*e^x)) [/mm] / [mm] (a+e^x)² [/mm] ]
Stammfunktion mit a=1 wäre:
F(x)= [mm] ((10*e^2x)+(x*10*e^x)) [/mm] / [mm] (1+e^x)²
[/mm]
Stimmen die Stammfunktionen soweit?Was muss ich als nächstes machen?
Vielen Dank im Voraus.
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Erstmal: Die Stammfunktionen stimmen so nicht.
Wegen dem Quadrat im Nenner wette ich, daß du abgeleitet hast - und nicht integriert!
Die Stammfunktion ist [mm] $10a\ln(a+e^{x})$
[/mm]
Die Herleitung ist auch recht einfach, wenn man es sieht:
Die Ableitung von [mm] $s=a+e^{x}$ [/mm] ist einfach [mm] $s'=e^{x}$. [/mm] Jetzt steht da sowas wie [mm] $k*\bruch{s'}{s}$. [/mm] Hierbei ist k ein Faktor (naja, k=10a...)
Das ist die Kettenregel: Innere Ableitung mal äußere. Innere Funktion ist s, innere Ableitung ist s'. Die äußere Ableitung ist [mm] \bruch{1}{z}, [/mm] demnach ist die äußere Funktion [mm] $\ln(z)$ [/mm] Demnach muß die Stammfunktion [mm] $\ln{s}=k\ln{(a+e^{x})}$ [/mm] sein.
Wenn du das wieder ableitest, bekommst du die gegebene Funktion raus - bis auf das k, aber durch Vergleich siehst du, daß k=10a sein muß.
Als nächstes mußt du dir die Integrationsgrenzen klar machen. Obere ist 0, untere ist erstmal -R
Das ist alles.
Naja, a=1 kannst du einsetzen, und anschließend mußt du schauen, ob es einen Grenzwert gibt, wenn R -> oo geht.
Zu welchem Zeitpunkt du a=1 einsetzt, ist eigentlich egal, das kommt darauf an, ob du noch ein anders a benutzen willst. Wenn nein, setzt es sofort ein, ansonsten erst hinterher.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Do 14.09.2006 | | Autor: | Timo17 |
Hi,
danke schon mal für deine Antwort.Ich hatte die Stammfunktion versucht zu ermitteln,in dem ich die Quotientenregel einfach"anders herum" gerechnet habe.Aber das scheint wohl nicht zu stimmen.
Könntest du mir deine Schritte von der Funktion zur Stammfunktion nochmal beschreiben?Wäre super!Habe das aus deinem Text noch nicht so durchblickt.
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Hallo Timo!
Das, was Sebastian bei der Stammfunktion angewendet hat, steht in meiner Formelsammlung unter Substitution - ein Sonderfall davon. Und zwar gilt:
[mm] \integral_a^b\bruch{f'(x)}{f(x)}\;dx=\ln|f(x)|\big|_a^b
[/mm]
Das kann man wahrscheinlich mit der Substitutionsregel herleiten, wenn du es ableitest, wirst du auch feststellen, dass die Funktion wieder rauskommt, ansonsten sollte man sich so etwas einfach merken (oder zumindest wissen, wo man es nachschlagen kann  ).
Jedenfalls hast du in deinem Fall (ich erkläre jetzt nur nochmal, was dir Sebastian schon erklärt hat) statt f(x) da stehen: [mm] a+e^x [/mm] - nennen wir es nicht f(x) da deine Ausgangsfunktion ja schon so heißt, sondern s(x). Also [mm] s(x)=a+e^x. [/mm] Dann ist [mm] s'(x)=e^x. [/mm] Also heißt deine komplette Funktion:
[mm] f(x)=10a*\bruch{s'(x)}{s(x)}
[/mm]
Nach obiger Formel ergibt sich dann:
[mm] \integral_a^b{f(x)}\;dx=\integral_a^b{10a*\bruch{s'(x)}{s(x)}\;dx}=10a*\integral_a^b{\bruch{s'(x)}{s(x)}}\;dx=10a*\ln|s(x)|\big|_a^b=10a*\ln|a+e^x|\big|_a^b
[/mm]
und das ist hoffentlich das, was Sebastian auch geschrieben hat!? (Hab's gerade nicht mehr im Kopf...)
Alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Timo17 |
Danke für eure ausführlichen Antworten! Jetzt habe ich nur noch Probleme mit der gestellten Aufgabe...:-(
Event_Horizon hat dazu auch schon was geschrieben,aber weiß nicht wie ichd as ausrechnen soll.Klar,obere Grenze minus untere Grenze.Und dann??
Berechnen Sie die Fläche,die von dem Graphen f(mit a=1),der negativen x-Achse,der positiven y-Achse und der Geraden x=-R(R>0) begernzt wird sowie deren Grenzwert für R gegen unendlich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Timo,
> Danke für eure ausführlichen Antworten! Jetzt habe ich nur
> noch Probleme mit der gestellten Aufgabe...:-(
>
> Event_Horizon hat dazu auch schon was geschrieben,aber weiß
> nicht wie ichd as ausrechnen soll.Klar,obere Grenze minus
> untere Grenze.Und dann??
>
>
> Berechnen Sie die Fläche,die von dem Graphen f(mit a=1),der
> negativen x-Achse,der positiven y-Achse und der Geraden
> x=-R(R>0) begernzt wird sowie deren Grenzwert für R gegen
> unendlich.
>
Wie Bastiane dir ja schon geschrieben hat, gilt:
$ [mm] \integral_a^b{f(x)}\;dx =10a\cdot{}\ln|a+e^x|\big|_a^b [/mm] $
Die untere Grenze ist -R, die obere 0:
$ [mm] \integral_{-R}^0{f(x)}\;dx =10a\cdot{}\ln|a+e^x|\big|_{-R}^0 [/mm] $
Für a=1, erhälst du also:
$ [mm] \integral_{-R}^0{f(x)}\;dx =10\cdot{}\ln|1+e^x|\big|_{-R}^0 [/mm] $
jetzt einsetzen:
$ [mm] =10\cdot{}\ln|1+e^0| [/mm] - [mm] 10\cdot{}\ln|1+e^{-R}| [/mm] $
$ = [mm] 10\cdot{}\ln2 [/mm] - [mm] 10\cdot{}\ln|1+e^{-R}| [/mm] $
Von diesem Ausdruck musst du jetzt den Grenzwert für $ R [mm] \to \infty [/mm] $ berrechnen.
>
Du weißt sicher, dass $ [mm] e^{-R} \to [/mm] 0 $ für $ R [mm] \to \infty [/mm] $
Kommst du jetzt alleine weiter?
Gruß
Sigrid
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Timo17 |
Ist das jetzt die Fläche,die man berechnen soll?
$ = [mm] 10\cdot{}\ln2 [/mm] - [mm] 10\cdot{}\ln|1+e^{-R}| [/mm] $
Dann habe ich es verstanden.
Und R gegen unendlich streben zu lassen bekomme ich hin.Nur was ist genau dieses "R"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Sa 16.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
R ist, wie in der aufgabe steht, die untere Grenze, 0 die obere. Indem r gegen [mm] \infty [/mm] geht berechnest du also die Fläche unter der Kurve von [mm] -\infty [/mm] bis Null.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 17.09.2006 | | Autor: | Timo17 |
Also das ist dann hier die Fläche:
$ = [mm] 10\cdot{}\ln2 [/mm] - [mm] 10\cdot{}\ln|1+e^{-R}| [/mm] $ ??
Ja,oder?
Da lasse ich R dann gegen unendlich streben und dann habe ich den gesuchten FlächeninhaltßOder habe ich das jetzt falsch verstanden?
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Hallo Timo,
Sigrid schrieb:
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$ = [mm] 10\cdot{}\ln2 [/mm] - [mm] 10\cdot{}\ln|1+e^{-R}| [/mm] $
Von diesem Ausdruck musst du jetzt den Grenzwert für $ R [mm] \to \infty [/mm] $ berrechnen.
>
Du weißt sicher, dass $ [mm] e^{-R} \to [/mm] 0 $ für $ R [mm] \to \infty [/mm] $
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> Also das ist dann hier die Fläche:
> [mm]= 10\cdot{}\ln2 - 10\cdot{}\ln|1+e^{-R}|[/mm] ??
> Ja,oder?
> Da lasse ich R dann gegen unendlich streben und dann habe
> ich den gesuchten Flächeninhalt?
> Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?
genau...
[mm]\text{Fläche} = \limes_{R \to \infty}{(10 \cdot{}\ln2 - 10\cdot{}\ln|1+e^{-R})}| = 10 \cdot{}\ln2 [/mm]
Wende die  Grenzwertsätze an, zerlege also in mehrere Grenzwerte und beachte die Bemerkung von Sigrid.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 17.09.2006 | | Autor: | Timo17 |
ok,danke nochmals für eure super Hilfe!
Habe mir jetzt nochmal alles durchgelesen und habe doch nochmal eine Frage zur Stammfunktion wie ich die bilde.Was ihr geschrieben habt habe ich auch verstanden nur frage ich mich noch:
Was ist mit dem Zähler aus meiner Ausgangsfunktion passiert?Fällt der einfach weg oder ist es weil von [mm] e^x [/mm] die Ableitung [mm] e^x [/mm] ist?Was wäre wenn dort was anderes stehen würde?
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Hallo,
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> Habe mir jetzt nochmal alles durchgelesen und habe doch
> nochmal eine Frage zur Stammfunktion wie ich die bilde.Was
> ihr geschrieben habt habe ich auch verstanden nur frage ich
> mich noch:
>
> Was ist mit dem Zähler aus meiner Ausgangsfunktion
> passiert?Fällt der einfach weg oder ist es weil von [mm]e^x[/mm] die
> Ableitung [mm]e^x[/mm] ist?Was wäre wenn dort was anderes stehen
> würde?
Lies noch einmal Bastianes Antwort genau durch.
Natürlich hängt das auch mit der besonderen Ableitung der e-Funktion zusammen; genau so ist sie ja definiert worden.
Und mit den anderen Integrationsregeln, die Bastiane benutzt hat.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 17.09.2006 | | Autor: | Timo17 |
habe mir das nochmal durchgelesen,aber komme nicht drauf was da mit dem Zähler geschieht.Der spielt da doch irgendwie gar keine Rolle,denn man nimmt ja nachher nur den Logarithmus von dem Nenner...
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Hallo Timo,
> habe mir das nochmal durchgelesen,aber komme nicht drauf
> was da mit dem Zähler geschieht.Der spielt da doch
> irgendwie gar keine Rolle,denn man nimmt ja nachher nur den
> Logarithmus von dem Nenner...
Kennst du denn schon die Substitutionsregeln beim Integrieren?
Diese Integration geht nur damit, da fällt nichts weg, sondern wird in die Regel eingebaut.
Nur wenn Zähler und Nenner so aufgebaut sind, wie von Bastiane beschrieben, geht die Regel.
Gruß informix
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