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Aufgabe:
Eine Schar von Funktionen ist gegeben durch
f t (x) = t*(x+2)*(x-4)² , x [mm] \in \IR [/mm] , t > 0
1) Zeigen Sie, dass es zwei Punkte gibt, durch die jede Scharkurve geht.
2) Bestimmen Sie die Gleichung des geometrischen Ortes aller Hochpunkte.
könnt ihr mir da helfen?
: )
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Max |
Du sollst zeigen, dass egal welchen Wert $t$ hat alle Kurven [mm] $f_t$ [/mm] trotzdem immer durch zwei gemeinsame Punkte verlaufen. Du kannst die Punkte herausfinden, indem du die gemeinsamen Punkte (=Schnittpunkte) zweier Kurven aus der Schar bestimmst. Also [mm] $f_{t_1}(x)=f_{t_2}(x)$.
[/mm]
Für die Gleichung der Hochpunkte solltest du erst einmal die Hochpunkte [mm] $H_t$ [/mm] in Abhängigkeit von $t$ bestimmen. Danach hilft sicher die Suchfunktion, da in den letzen Tagen sehr viele Aufgaben zu Kurvenscharen besprochen wurden.
Gruß Brackhaus
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soweit schon mal danke..
mir ist allerdings noch etwas unklar..
ich kann ja für [mm] {t_1} [/mm] und für [mm] {t_2} [/mm] nicht einfach eine beliebige zahl einsetzen, da ich ja sonst nur für zwei scharkurven und nicht für alle scharkurven zeigen würde, dass sie alle zwei gemeinsame punkte haben... oder?
???
hmm ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Sigrid |
hallo sonnenschein,
> soweit schon mal danke..
> mir ist allerdings noch etwas unklar..
> ich kann ja für [mm]{t_1}[/mm] und für [mm]{t_2}[/mm] nicht einfach eine
> beliebige zahl einsetzen, da ich ja sonst nur für zwei
> scharkurven und nicht für alle scharkurven zeigen würde,
> dass sie alle zwei gemeinsame punkte haben... oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") richtig. Du musst schon allgemein mit [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] rechnen. Wenn du zwei Schnittpunkte erhälst, die unabhängig von [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] unabhängig sind, dann hast du deinen Nachweis.
Wenn du einfach zwei Zahlen einsetzt, musst du anschließend noch zeigen, dass alle Kurven der Schar durch die ermittelten Schnittpunkte gehen.
> ???
> hmm ?
>
Alles klar?
Gruß Sigrid
>
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mir ist immer noch nicht alles klar.. ( t´schuldigung :) )
also wenn ich in abhängigkeit von [mm] {t_1} [/mm] und [mm] {t_2} [/mm] die Kurvenschar schneiden lasse, dann kommt bei mir folgendes raus:
[mm] {t_1}x³- 6{t_1}x²+32{t_1}= {t_2}x³-6{t_2}x²+32{t_2}
[/mm]
bzw.
[mm] {t_1}x³- 6{t_1}x²+32{t_1}-{t_2}x³+6{t_2}x²-32{t_2}=0
[/mm]
und wie gehts dann weiter?
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Hallo Sonnenschein,
können wir gut gebrauchen  ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> mir ist immer noch nicht alles klar.. ( t´schuldigung :)
> )
> also wenn ich in abhängigkeit von [mm]{t_1}[/mm] und [mm]{t_2}[/mm] die
> Kurvenschar schneiden lasse, dann kommt bei mir folgendes
> raus:
> [mm]{t_1}x³- 6{t_1}x²+32{t_1}= {t_2}x³-6{t_2}x²+32{t_2}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]{t_1}x³- 6{t_1}x²+32{t_1}-{t_2}x³+6{t_2}x²-32{t_2}=0[/mm]
>
jetzt löst du diese Gleichung nach x auf, um die Schnittstellen herauszufinden (denke daran, [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] sind ganz normale Zahlen!)
[mm] $(t_1-t_2)x^3 [/mm] - 6 [mm] (t_1-t_2)x^2 [/mm] = [mm] -32(t_1-t_2)$
[/mm]
Erkennst du jetzt, dass die Schnittstellen nicht von der Wahl der [mm] t_i [/mm] abhängen, solange sie nicht gleich sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Mo 07.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Guck dir mal die Nullstellen an! Wie hängen sie von t ab?
Wenn du das siehst, bist du mit a fertig! Immer erst die Funktion genau auf besondere Eigenschaften angucken! Das vereinfacht oft vieles. Und euer Lehrer will vielleicht grade das erreichen.
Dasselbe gilt fast für die erste Ableitung!
Gruss leduart
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