Kurvenintegrale berechnen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Fr 19.05.2017 | | Autor: | astol |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgenden Integra:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z^2(z^2+16)} dz}, \gamma:[0,2\pi]\to\IC, \gamma(t):=2e^{it} [/mm] |
Hallo, ich habe versucht das Kurvenintegral zu berechnen und würde mich über ein kleines Feedback freuen. DANKE
Aus der Vorlesung wissen wir:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}:=\integral_{a}^{b}{f(\gamma(t))\gamma'(t) dt}
[/mm]
Es gilt: [mm] \gamma'(t)=2*i*e^{it} [/mm] und somit
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z^2(z^2+16)} dz}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}(4e^{2it}+16)}*2ie^{it} dt}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{i}{2e^{it}(4e^{2it}+16)} dt}=\bruch{i}{8}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{e^{3it}+4e^{it}} dt}
[/mm]
...WolframAlpha...
[mm] =\bruch{i}{8}*(\bruch{i}{4}*e^{-it}-\bruch{i}{8}*tan^{-1}(2e^{-it}))
[/mm]
Setzt man nun t=0 und [mm] t=2\pi [/mm] ein und subtrahiert diese voneinander so ist das Integral 0.
Erstmal: Kann ich das so machen? Und dann schließt sich die Frage an, wie kann ich die Stammfunktion per Hand bestimmen ohne WolframAlpha zu bemühen? Habt Ihr da einen Tipp für mich?
Gruß astol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Fr 19.05.2017 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] G:=\{z \in \IC: |z|<3\}, [/mm] so ist [mm] $f(z):=\frac{1}{z^2+16}$ [/mm] auf $G$ holomorph. Mit der Integralformel füe Ableitungen ist dann
$ [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z^2(z^2+16)} dz}= \integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(z)}{z^2} dz}=2 \pi [/mm] i f'(0)=0$
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