Kurvenintegral des Vektorfelds < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 So 16.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Kurvenintegral des Vektorfeldes [mm] F:\IP^2 \to \IR^2, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto (xy^2,x^2y) [/mm] entlang des Weges [mm] \Gamma=\Gamma_{1}+\Gamma_{2} [/mm] wobei [mm] \Gamma_{1} [/mm] die Strecke von (1,1) nach (2,1) und [mm] \Gamma_{2} [/mm] die Strecke von (2,1) nach (2,2) beschreibt. Tun Sie dies sowohl unter Verwendung der Definition des Integraltyps sowie mit Hilfe des Potentials. |
Hey,
Also Prinzipiell hab ich die Aufgabe denke ich verstanden.
Sollte sich als erstes mal um ein Kurvenintegral 2. Art handeln oder?
Meine Kurve [mm] \vec{\gamma} [/mm] von Punkt (1,1) nach (2,2) da [mm] \Gamma_{1} [/mm] und [mm] \Gamma_{2} [/mm] addiert werden müssen, also praktisch Vektoraddition.
Komme dementsprechend auf [mm] \vec{\gamma}=\vektor{x\\y}
[/mm]
Allerdinsg glaube ich das es falsch ist da [mm] \vec{\gamma} [/mm] nur von t abhängig sein sollte oder?
Zumindest laut Kurvenintegral 2. Art (und auch 1. Art sollte ich mit meiner Vermutung falsch liegen). Weil dort heißt es ja [mm] \integral_{a}^{b}{f(\vec{\gamma}(t))*\bruch{\partial \vec{\gamma}}{\partial t}dt}
[/mm]
Schätze mal die Bildung von [mm] \vec{\gamma} [/mm] läuft anders? Aber wie?
Und zu der Sache mit dem Potential.
Also um ein Gradientenfeld handelt es sich. Dementsprechend gibt es auch ein Potential welches lautet: [mm] p=x^2y^2+c
[/mm]
oder?'
Aber wie soll ich damit nun das Kurvenintegral rausbekommen?
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> Berechnen Sie das Kurvenintegral des Vektorfeldes [mm]F:\IP^2 \to \IR^2,[/mm]
> (x,y) [mm]\mapsto (xy^2,x^2y)[/mm] entlang des Weges
> [mm]\Gamma=\Gamma_{1}+\Gamma_{2}[/mm] wobei [mm]\Gamma_{1}[/mm] die Strecke
> von (1,1) nach (2,1) und [mm]\Gamma_{2}[/mm] die Strecke von (2,1)
> nach (2,2) beschreibt. Tun Sie dies sowohl unter Verwendung
> der Definition des Integraltyps sowie mit Hilfe des Potentials.
> Sollte sich als erstes mal um ein Kurvenintegral 2. Art
> handeln oder?
Ja.
> Meine Kurve [mm]\vec{\gamma}[/mm] von Punkt (1,1) nach (2,2) da
> [mm]\Gamma_{1}[/mm] und [mm]\Gamma_{2}[/mm] addiert werden müssen, also
> praktisch Vektoraddition.
> Komme dementsprechend auf [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x\\y}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> Allerdinsg glaube ich das es falsch ist da [mm]\vec{\gamma}[/mm] nur
> von t abhängig sein sollte oder?
Dies bedeutet, dass du eben die Parameterdarstellung(en) für
den beschriebenen Weg brauchst. Für den ersten Abschnitt
lautet die z.B. x(t)=t , y(t)=1 ( t [mm] \in [/mm] [1...2] ) .
> Zumindest laut Kurvenintegral 2. Art (und auch 1. Art
> sollte ich mit meiner Vermutung falsch liegen). Weil dort
> heißt es ja
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(\vec{\gamma}(t))*\bruch{\partial \vec{\gamma}}{\partial t}dt}[/mm]
>
> Schätze mal die Bildung von [mm]\vec{\gamma}[/mm] läuft anders?
> Aber wie?
Teile das Integral in seine zwei Summanden auf:
[mm] $\integral_{t=1}^{2}F\left(\pmat{x_1(t)\\y_1(t)} \right)*\pmat{\dot x_1(t)\\ \dot y_1(t)}\,dt\ [/mm] +\ [mm] \integral_{t=\,...}^{...}F\left(\pmat{x_2(t)\\y_2(t)} \right)*\pmat{\dot x_2(t)\\ \dot y_2(t)}\,dt$
[/mm]
> Und zu der Sache mit dem Potential.
> Also um ein Gradientenfeld handelt es sich. Dementsprechend
> gibt es auch ein Potential welches lautet: [mm]p=x^2y^2+c[/mm]
> oder?'
Das kannst (bzw. solltest) du selber kontrollieren.
> Aber wie soll ich damit nun das Kurvenintegral
> rausbekommen?
Nach dem ![[]](/images/popup.gif) Satz über wegunabhängige Kurvenintegrale
geht's dann rechnerisch ohne Integration.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 So 16.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
> Dies bedeutet, dass du eben die Parameterdarstellung(en)
> für
> den beschriebenen Weg brauchst. Für den ersten Abschnitt
> lautet die z.B. x(t)=t , y(t)=1 ( t [mm]\in[/mm] [1...2] ) .
>
okay dann komme ich auf [mm] \vec{\gamma}_{1}=\vektor{t\\1} [/mm] und [mm] \vec{\gamma}_{2}=\vektor{1\\t}
[/mm]
> > Zumindest laut Kurvenintegral 2. Art (und auch 1. Art
> > sollte ich mit meiner Vermutung falsch liegen). Weil dort
> > heißt es ja
> > [mm]\integral_{a}^{b}{f(\vec{\gamma}(t))*\bruch{\partial \vec{\gamma}}{\partial t}dt}[/mm]
>
> >
> > Schätze mal die Bildung von [mm]\vec{\gamma}[/mm] läuft anders?
> > Aber wie?
>
> Teile das Integral in seine zwei Summanden auf:
>
> [mm] \integral_{t=1}^{2}F\left(\pmat{x_1(t)\\y_1(t)} \right)*\pmat{\dot x_1(t)\\ \dot y_1(t)}\,dt\ +\integral_{t=\,...}^{...}F\left(\pmat{x_2(t)\\y_2(t)} \right)*\pmat{\dot x_2(t)\\ \dot y_2(t)}\,dt
[/mm]
>
okay dann komme ich so jetzt auf
[mm] \integral_{1}^{2}{\vektor{t\\t^2}*\vektor{1\\0}dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{2}{tdt} [/mm] = 1,5
und
[mm] \integral_{1}^{2}{\vektor{t^2\\t}*\vektor{0\\1}dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{2}{tdt} [/mm] = 1,5
Also auf insgesamt 1,5+1,5=3
richtig so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 So 16.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
> > okay dann komme ich auf [mm]\vec{\gamma}_{1}=\vektor{t\\1}[/mm] und
> > [mm]\vec{\gamma}_{2}=\vektor{1\\t}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Das zweite stimmt nicht. Betrachte den Streckenzug
> nochmals genau ! Und gib zu jeder Parametrisierung
> immer das Intervall für den Parameter an.
echt nicht? :o
Weil beim ersten gehe ich ja von (1,1) nach (2,1) daher komme ich auf
[mm] \vec{\gamma}=\vektor{x(t)=t\\y(t)=1} [/mm] für t [mm] \in [/mm] [1...2]
Beim zweiten dachte ich jetzt wo ich von (2,1) nach (2,2) gehe komm ich auf
[mm] \vec{\gamma}=\vektor{x(t)=1\\y(t)=t} [/mm] für t [mm] \in [/mm] [1...2]
warum stimmt das denn nicht?
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Hallo Teryosas,
> > > okay dann komme ich auf [mm]\vec{\gamma}_{1}=\vektor{t\\1}[/mm] und
> > > [mm]\vec{\gamma}_{2}=\vektor{1\\t}[/mm]
> >
> > Das zweite stimmt nicht. Betrachte den Streckenzug
> > nochmals genau ! Und gib zu jeder Parametrisierung
> > immer das Intervall für den Parameter an.
>
> echt nicht? :o
> Weil beim ersten gehe ich ja von (1,1) nach (2,1) daher
> komme ich auf
> [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=t\\y(t)=1}[/mm] für t [mm]\in[/mm] [1...2]
> Beim zweiten dachte ich jetzt wo ich von (2,1) nach (2,2)
> gehe komm ich auf
> [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=1\\y(t)=t}[/mm] für t [mm]\in[/mm] [1...2]
>
> warum stimmt das denn nicht?
Weil der Ausgangspunkt (2,1) ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 So 16.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
> Hallo Teryosas,
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> > > > okay dann komme ich auf [mm]\vec{\gamma}_{1}=\vektor{t\\1}[/mm] und
> > > > [mm]\vec{\gamma}_{2}=\vektor{1\\t}[/mm]
> > >
> > > Das zweite stimmt nicht. Betrachte den Streckenzug
> > > nochmals genau ! Und gib zu jeder Parametrisierung
> > > immer das Intervall für den Parameter an.
> >
> > echt nicht? :o
> > Weil beim ersten gehe ich ja von (1,1) nach (2,1) daher
> > komme ich auf
> > [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=t\\y(t)=1}[/mm] für t [mm]\in[/mm] [1...2]
> > Beim zweiten dachte ich jetzt wo ich von (2,1) nach
> (2,2)
> > gehe komm ich auf
> > [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=1\\y(t)=t}[/mm] für t [mm]\in[/mm]
> [1...2]
> >
> > warum stimmt das denn nicht?
>
>
> Weil der Ausgangspunkt (2,1) ist.
Ahhhh ich glaub ich habs.
[mm] \vec{\gamma}=\vektor{x(t)=2\\y(t)=t} [/mm] für t [mm] \in [/mm] [1...2] ??
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Hallo Teryosas,
> > Hallo Teryosas,
> >
> > > > > okay dann komme ich auf [mm]\vec{\gamma}_{1}=\vektor{t\\1}[/mm] und
> > > > > [mm]\vec{\gamma}_{2}=\vektor{1\\t}[/mm]
> > > >
> > > > Das zweite stimmt nicht. Betrachte den Streckenzug
> > > > nochmals genau ! Und gib zu jeder Parametrisierung
> > > > immer das Intervall für den Parameter an.
> > >
> > > echt nicht? :o
> > > Weil beim ersten gehe ich ja von (1,1) nach (2,1) daher
> > > komme ich auf
> > > [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=t\\y(t)=1}[/mm] für t [mm]\in[/mm] [1...2]
> > > Beim zweiten dachte ich jetzt wo ich von (2,1) nach
> > (2,2)
> > > gehe komm ich auf
> > > [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=1\\y(t)=t}[/mm] für t [mm]\in[/mm]
> > [1...2]
> > >
> > > warum stimmt das denn nicht?
> >
> >
> > Weil der Ausgangspunkt (2,1) ist.
> Ahhhh ich glaub ich habs.
> [mm]\vec{\gamma}=\vektor{x(t)=2\\y(t)=t}[/mm] für t [mm]\in[/mm] [1...2]
> ??
>
Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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