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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kurvenintegral - Aufgabe
Kurvenintegral - Aufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kurvenintegral - Aufgabe: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Mi 07.10.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Gegeben seien die folgenden 2 Kurven:

a) [mm] \gamma_1 [/mm] der Streckenzug durch die Punkt (0,0), (1,0) und (1,1) (in dieser Reihenfolge)

b) [mm] \gamma_2 [/mm] der Streckenzug durch die Punkte (0,0), (0,1) und (1,1) (in dieser Reihenfolge)

Berechnen Sie

[mm] \integral_{\gamma_k}{y dx+(x-y)dy} [/mm]

für k=1,2

a)

die Kurve [mm] \gamma_1 [/mm] würde ich so parametrisieren:

[mm] \gamma_1: [a,b]\to\IR^2 [/mm]

[mm] \gamma_1(t)=\begin{cases} \vektor{t \\ 0}, & \mbox{für } t\in[0,1] \mbox{ gerade} \\ \vektor{1 \\ t-1}, & \mbox{für } t\in [1,2] \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm]

Für die Ableitung gilt:

[mm] \gamma_1'(t)=\begin{cases} \vektor{1 \\ 0}, & \mbox{für } t\in[0,1] \mbox{ gerade} \\ \vektor{0 \\ 1}, & \mbox{für } t\in [1,2] \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm]

Ich verstehe jetzt aber nicht, wie ich das Integral

[mm] \integral_{\gamma_k}{y dx+(x-y)dy} [/mm]

lösen soll. Was ist hier y und x? sind das funktionen?

Normalerweise gilt für Kurvenintegrale:

Erster Art: [mm] \integral_{\gamma}{f(\gamma(t))*|\gamma'(t)| dt} [/mm]

Zweiter Art: [mm] \integral_{\gamma}{f(\gamma(t))*\gamma'(t) dt} [/mm]

Welche Art liegt hier vor? Was ist die funktion f für aufgabe a) ? Wie löse ich nun das Integral?

        
Bezug
Kurvenintegral - Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Mi 07.10.2015
Autor: fred97


> Gegeben seien die folgenden 2 Kurven:
>  
> a) [mm]\gamma_1[/mm] der Streckenzug durch die Punkt (0,0), (1,0)
> und (1,1) (in dieser Reihenfolge)
>  
> b) [mm]\gamma_2[/mm] der Streckenzug durch die Punkte (0,0), (0,1)
> und (1,1) (in dieser Reihenfolge)
>  
> Berechnen Sie
>
> [mm]\integral_{\gamma_k}{y dx+(x-y)dy}[/mm]
>  
> für k=1,2
>  a)
>  
> die Kurve [mm]\gamma_1[/mm] würde ich so parametrisieren:
>  
> [mm]\gamma_1: [a,b]\to\IR^2[/mm]
>  
> [mm]\gamma_1(t)=\begin{cases} \vektor{t \\ 0}, & \mbox{für } t\in[0,1] \mbox{ gerade} \\ \vektor{1 \\ t-1}, & \mbox{für } t\in [1,2] \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>  
> Für die Ableitung gilt:
>  
> [mm]\gamma_1'(t)=\begin{cases} \vektor{1 \\ 0}, & \mbox{für } t\in[0,1] \mbox{ gerade} \\ \vektor{0 \\ 1}, & \mbox{für } t\in [1,2] \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>  
> Ich verstehe jetzt aber nicht, wie ich das Integral
>
> [mm]\integral_{\gamma_k}{y dx+(x-y)dy}[/mm]
>  
> lösen soll. Was ist hier y und x? sind das funktionen?
>  
> Normalerweise gilt für Kurvenintegrale:
>  
> Erster Art: [mm]\integral_{\gamma}{f(\gamma(t))*|\gamma'(t)| dt}[/mm]
>  
> Zweiter Art: [mm]\integral_{\gamma}{f(\gamma(t))*\gamma'(t) dt}[/mm]
>  
> Welche Art liegt hier vor? Was ist die funktion f für
> aufgabe a) ? Wie löse ich nun das Integral?


Sind [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] zwei Funktionen von 2 Var. und setzt man  [mm] f(x,y):=\vektor{f_1(x,y) \\ f_2(x,y)} [/mm] so schreibt man für das Integral (2.Art)

   [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(x,y)* d(x,y)} [/mm]

auch

   [mm] \integral_{\gamma}^{}{f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy} [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral - Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Mi 07.10.2015
Autor: Rebellismus

[mm] \integral_{\gamma_k}{y dx+(x-y)dy}=\integral_{\gamma_k}\vektor{y \\ x-y}d(x,y) [/mm]

die Varabeln x und y sind dann die Komponenten von der Kurve [mm] \gamma_1(t) [/mm] richtig?

[mm] \integral_{\gamma_k}\vektor{y \\ x-y}d(x,y)=\integral_{0}^{1}{\vektor{0 \\ t-0}*\gamma_1'(t)dt}+\integral_{1}^{2}{\vektor{t-1 \\ 1-(t-1)}*\gamma_1'(t)dt} [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{1}{\vektor{0 \\ t-0}*\vektor{1 \\ 0}dt}+\integral_{1}^{2}{\vektor{t-1 \\ 1-(t-1)}*\vektor{0 \\ 1}dt} [/mm]

stimmt das soweit?

Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral - Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Mi 07.10.2015
Autor: fred97


> [mm]\integral_{\gamma_k}{y dx+(x-y)dy}=\integral_{\gamma_k}\vektor{y \\ x-y}d(x,y)[/mm]
>  
> die Varabeln x und y sind dann die Komponenten von der
> Kurve [mm]\gamma_1(t)[/mm] richtig?
>  
> [mm]\integral_{\gamma_k}\vektor{y \\ x-y}d(x,y)=\integral_{0}^{1}{\vektor{0 \\ t-0}*\gamma_1'(t)dt}+\integral_{1}^{2}{\vektor{t-1 \\ 1-(t-1)}*\gamma_1'(t)dt}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{0}^{1}{\vektor{0 \\ t-0}*\vektor{1 \\ 0}dt}+\integral_{1}^{2}{\vektor{t-1 \\ 1-(t-1)}*\vektor{0 \\ 1}dt}[/mm]
>  
> stimmt das soweit?

Ja

FRED


Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral - Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:20 Do 08.10.2015
Autor: Rebellismus

Die Frage hat sich erledigt. ich habe den Fehler gefunden.

Korrektur:


[mm] =\integral_{0}^{1}{\vektor{0 \\ t-0}*\vektor{1 \\ 0}dt}+\integral_{1}^{2}{\vektor{t-1 \\ 1-(t-1)}*\vektor{0 \\ 1}dt} [/mm]


[mm] =\integral_{0}^{1}{0*1+t*0dt}+\integral_{1}^{2}{(t-1)*0+(1-(t-1))*1dt}=\integral_{1}^{2}{2-tdt}=\bruch{1}{2} [/mm]

ich habe aber noch eine frage. was sagt das ergebnis [mm] \bruch{1}{2} [/mm] nun aus?


Bezug
                                
Bezug
Kurvenintegral - Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Do 08.10.2015
Autor: fred97


> Die Frage hat sich erledigt. ich habe den Fehler gefunden.
>  
> Korrektur:
>  
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}{\vektor{0 \\ t-0}*\vektor{1 \\ 0}dt}+\integral_{1}^{2}{\vektor{t-1 \\ 1-(t-1)}*\vektor{0 \\ 1}dt}[/mm]
>  
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}{0*1+t*0dt}+\integral_{1}^{2}{(t-1)*0+(1-(t-1))*1dt}=\integral_{1}^{2}{2-tdt}=\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> ich habe aber noch eine frage. was sagt das ergebnis
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] nun aus?

Im [mm] \IR^3: [/mm] ein Kraftfeld F=F(x,y,z) verrichtet an einem Massenpunkt beim Verschieben längs eine Weges [mm] \gamma [/mm] die Arbeit

   [mm] $W=\integral_{\gamma}^{}{F(x,y,z)* d(x,y,z)}$ [/mm]

(Arbeitsintegral).

FRED

>  


Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral - Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Mi 07.10.2015
Autor: Rebellismus


> Sind [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] zwei Funktionen von 2 Var. und setzt man  
> [mm]f(x,y):=\vektor{f_1(x,y) \\ f_2(x,y)}[/mm] so schreibt man für
> das Integral (2.Art)
>  
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(x,y)* d(x,y)}[/mm]
>  
> auch
>  
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy}[/mm]
>  

ich habe hierzu noch eine frage. Im folgenden Video (du brauchst nicht das ganze video schauen, es geht um die ersten Sekunden)

[]das video

steht gleich im Anfang das integral:


[mm] \integral{P dx+Qdy} [/mm]

handelt es sich hierbei auch um das integral


[mm] \integral{\vektor{P \\ Q}d(x,y)} [/mm]

?

Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral - Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Mi 07.10.2015
Autor: fred97


> > Sind [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] zwei Funktionen von 2 Var. und setzt man  
> > [mm]f(x,y):=\vektor{f_1(x,y) \\ f_2(x,y)}[/mm] so schreibt man für
> > das Integral (2.Art)
>  >  
> > [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(x,y)* d(x,y)}[/mm]
>  >  
> > auch
>  >  
> > [mm]\integral_{\gamma}^{}{f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy}[/mm]
>  >  
>
> ich habe hierzu noch eine frage. Im folgenden Video (du
> brauchst nicht das ganze video schauen, es geht um die
> ersten Sekunden)
>  
> []das video
>  
> steht gleich im Anfang das integral:
>  
>
> [mm]\integral{P dx+Qdy}[/mm]
>  
> handelt es sich hierbei auch um das integral
>  
>
> [mm]\integral{\vektor{P \\ Q}d(x,y)}[/mm]
>  
> ?


Ja, hier ist [mm] f_1=P [/mm] und [mm] f_2=Q [/mm]

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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