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Kurvenintegral: Weglänge
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Mi 26.08.2009
Autor: domerich

Aufgabe
von [mm] \gamma(t) [/mm] = (t- sin (t), 1- cos (t) )
von 0<t<2pi


habe ich ableitet und quadriert zu

[mm] \wurzel{1-2 cos t +cos^2 t +sin^2 t} [/mm]

= [mm] \wurzel{2 -2cos t} [/mm]

wie leitet man das denn gut auf?

        
Bezug
Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 Mi 26.08.2009
Autor: schachuzipus

Hallo domerich,

> von [mm]\gamma(t)[/mm] = (t- sin (t), 1- cos (t) )
>  von 0<t<2pi
>  
>
> habe ich ableitet und quadriert zu
>
> [mm]\wurzel{1-2 cos t +cos^2 t +sin^2 t}[/mm]
>  
> = [mm]\wurzel{2 -2cos t}[/mm]
>  
> wie leitet man das denn gut auf?

Das kann man weder gut noch schlecht "aufl...", eine derartige mathemat. Operation gibt es nicht; man kann es allenfalls integrieren

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Mi 26.08.2009
Autor: schachuzipus

Hallo domerich,

> von [mm]\gamma(t)[/mm] = (t- sin (t), 1- cos (t) )
>  von 0<t<2pi
>  
>
> habe ich ableitet und quadriert zu
>
> [mm]\wurzel{1-2 cos t +cos^2 t +sin^2 t}[/mm]
>  
> = [mm]\wurzel{2 -2cos t}[/mm]
>  
> wie leitet man das denn gut auf?

Klammer zuerst mal unter der Wurzel 2 aus und ziehe es raus, dann hast du

[mm] $\sqrt{2}\int\limits_0^{2\pi}{\sqrt{1-\cos(t)} \ dt}$ [/mm]

Nun verwende das Additionstheorem für den Cosinus (Halbwinkel ...)

[mm] $\cos(t)=\cos\left(\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\right)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$ [/mm]

Benutze das in Verbindung mit dem trigonom. Pythagoras: [mm] $1=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)+\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$ [/mm]


Gruß

schachuzipus


Bezug
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