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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Mo 20.07.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Kurvenintegral [mm]\int_{\varphi}{y \ ds}[/mm] für die Kurve mit der Parameterdarstellung
[mm]\varphi(t) = \begin{pmatrix} 4t \\ t^3 \end{pmatrix} \ , \ \ \ 0 \ \le \ t \ \le \ 1 [/mm]. |
Hallo,
bis jetzt waren bei all den Kurvenintegral eine Funktion von f angegeben, in der man einmal das [mm] \varphi(t) [/mm] einfügt und mit dem Betrag der Ableitung von [mm] \varphi(t) [/mm] multipliziert. Dieses Integral rechnet man dann mit den gegebenen Grenzen aus.
Da hier keine Funktion abgegeben ist, wollte ich schlicht den Betrag der Ableitung von [mm] \varphi(t) [/mm] Integrieren ... stimmt das überhaupt so?
Hier mal mein Ansatz:
[mm]
\varphi' (t) = \begin{pmatrix}4 \\ 3t^2\end{pmatrix}[/mm]
Der Betrag ist somit:
[mm]
| \varphi' (t) | = \sqrt{16 + 9t^4}[/mm]
Jetzt wollte ich dies Integrieren:
[mm]\integral_{0}^{1}{\sqrt{16 + 9t^4} \ dt} = ... ?![/mm]
Und das wars auch schon, ich komme mit den Integral nicht weiter, habe versucht mit u = [mm] 3t^2 [/mm] zu substituieren, kam aber nicht sonderlich weit.
Wo habe ich den Fehler gemacht?
Wünsche noch nen schönen Abend.
Gruß,
Lyrone.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mo 20.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lyrone!
> Berechnen Sie das Kurvenintegral [mm]\int_{\varphi}{y \ ds}[/mm]
> für die Kurve mit der Parameterdarstellung
>
> [mm]\varphi(t) = \begin{pmatrix} 4t \\ t^3 \end{pmatrix} \ , \ \ \ 0 \ \le \ t \ \le \ 1 [/mm].
>
> Hallo,
>
> bis jetzt waren bei all den Kurvenintegral eine Funktion
> von f angegeben, in der man einmal das [mm]\varphi(t)[/mm] einfügt
> und mit dem Betrag der Ableitung von [mm]\varphi(t)[/mm]
> multipliziert. Dieses Integral rechnet man dann mit den
> gegebenen Grenzen aus.
>
> Da hier keine Funktion abgegeben ist, wollte ich schlicht
> den Betrag der Ableitung von [mm]\varphi(t)[/mm] Integrieren ...
> stimmt das überhaupt so?
Aber da steht doch eine Funktion unter dem Integral, nämlich y, also [mm] $f(x,y)=y\,$.
[/mm]
> Hier mal mein Ansatz:
>
> [mm]
\varphi' (t) = \begin{pmatrix}4 \\ 3t^2\end{pmatrix}[/mm]
>
> Der Betrag ist somit:
>
> [mm]
| \varphi' (t) | = \sqrt{16 + 9t^4}[/mm]
>
> Jetzt wollte ich dies Integrieren:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\sqrt{16 + 9t^4} \ dt} = ... ?![/mm]
>
> Und das wars auch schon, ich komme mit den Integral nicht
> weiter, habe versucht mit u = [mm]3t^2[/mm] zu substituieren, kam
> aber nicht sonderlich weit.
>
> Wo habe ich den Fehler gemacht?
Setze y ein, dann lässt sich das Integral wunderbar mit Substitution lösen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mo 20.07.2009 | | Autor: | Lyrone |
Wunderbar, danke Rainer für den Hinweis!
Schönen Abend noch!
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