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| Aufgabe | | Berechnen sie [mm] \integral_{k}^{}{(x-2)y ds} [/mm] wobei k der Halbkreisbogen mit dem Radius r= 2 ist im 1. und 2. Quadranten ist. |
Wollte euch bitte um Korrektur der Aufgabe bitten. Da ich mir nicht sicher bin ob mein Ergebniss richtig ist.
x(t) = Phi (t) = r*cos ( t ) Phi' (t) = -sin (t)
y(t) = Psi (t) = r*sin ( t ) Psi' (t) = cos (t)
r = 2 k = [mm] \pi
[/mm]
[mm] \integral_{k}^{}{(x-2)y ds} [/mm] nun habe ich erstmal die Klammer in dem Integral Aufgelöst.
[mm] \integral_{k}^{}{xy-2y ds} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi}{r*cos(t)*r*sin(t)-2r*sin(t)*\vmat{ Phi' \\ Psi'} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi}{2*cos(t)*2*sin(t)*(-4*sin(t)*\wurzel[]{2^2*(-sin(t))^2*2^2*cos(t))^2} dt}
[/mm]
So nun ein wenig Zusammengefasst :
[mm] \integral_{0}^{\pi}{-16*cos(t)*sin^2(t)*\wurzel[]{4*(sin^2(t)+cos^2(t)} dt}
[/mm]
Da [mm] sin^2(t) [/mm] + [mm] cos^2(t) [/mm] = 1 ist folgt daraus
= [mm] \integral_{0}^{\pi}{-16*cos(t)*sin^2(t)*\wurzel[0]{4} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi}{-32*cos(t)*sin^2(t) dt}
[/mm]
= [ -32* [mm] sin^3(t)/3 [/mm] ] mit eingesetzten Grenzen kommt bei mir 0 raus.
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Guten Tag.
Wollte Fragen wie ich dann den Halbkreisbogen integrieren soll, wenn die Grenzen nicht richtig sind habe mir gedacht das [mm] \pi [/mm] und 0 richtig sind da ein ganzer Kreis [mm] 2\pi [/mm] ist. Und nen halber Kreis daher nur [mm] \pi [/mm] oder stimmt das nicht so?
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Hallo,
> Guten Tag.
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> Wollte Fragen wie ich dann den Halbkreisbogen integrieren
> soll, wenn die Grenzen nicht richtig sind habe mir gedacht
> das [mm]\pi[/mm] und 0 richtig sind da ein ganzer Kreis [mm]2\pi[/mm] ist.
> Und nen halber Kreis daher nur [mm]\pi[/mm] oder stimmt das nicht
> so?
Ja, die Grenzen sind von 0 bis [mm] \pi.
[/mm]
Jetzt parametrisiere doch erst einmal den Halbkreis korrekt:
[mm] k(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}=\vektor{...\\...}, t\in[0,\pi]
[/mm]
Jetzt bilde die Ableitung:
[mm] k'(t)=\vektor{x'(t)\\y'(t)}=\vektor{...\\...}
[/mm]
Bilde nun die Norm von k'(t):
[mm] \Vert{k'(t)}\Vert=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}=...
[/mm]
So, und nun alles schön sauber (!) in die Formel für Kurveninetgrale einsetzen und berechnen.
Wenn du willst, dann zeig uns erst einmal obige Berechnungen. Das prüfen wir erst einmal und dann kannst du das Kurveninetgral korrekt ausrechnen.
Teilweise hast du ja schon etwas richtig gemacht. Wir wollen es nur noch einmal sauber aufschreiben.
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K(t) = [mm] \vmat{ x(t) \\ y(t) } [/mm] = [mm] \vmat{ r*cos(t) \\ r*sin(t) }
[/mm]
k'(t) = [mm] \vmat{ x'(t) \\ y'(t)} [/mm] = [mm] \vmat{ -r*sin(t) \\ r*cos(t) }
[/mm]
||k'(t)|| = [mm] \wurzel[1]{x'(t)^2 + y'(t)^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel[1]{-r^2*sin^2(t) + r^2 * cos^2(t)}
[/mm]
= [mm] \wurzel[1]{r^2*(sin^2(t) + cos^2(t)}
[/mm]
= [mm] \wurzel[1]{r^2} [/mm] = r
[mm] \integral_{0}^{\pi}{r*cos(t)*r*sin(t)-2r*sin(t)*r dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi}{2cos(t)*2sin(t)-4sin(t)*2 dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi}{2cos(t)*(-2*sin(t))*2 dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi}{-8cos(t)*sin(t) dt}
[/mm]
= [ -8*-1/4*cos(2t)] nun die Grenzen Einetzen
= [ [mm] 2*cos(2\pi)] [/mm] - [ 2*cos(0)] = 0
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mo 24.03.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hi,
> K(t) = [mm]\vmat{ x(t) \\ y(t) }[/mm] = [mm]\vmat{ r*cos(t) \\ r*sin(t) }[/mm]
>
> k'(t) = [mm]\vmat{ x'(t) \\ y'(t)}[/mm] = [mm]\vmat{ -r*sin(t) \\ r*cos(t) }[/mm]
>
> ||k'(t)|| = [mm]\wurzel[1]{x'(t)^2 + y'(t)^2}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel[1]{-r^2*sin^2(t) + r^2 * cos^2(t)}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel[1]{r^2*(sin^2(t) + cos^2(t)}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel[1]{r^2}[/mm] = r
>
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{r*cos(t)*r*sin(t)-2r*sin(t)*r dt}[/mm]
Genau das meinte ich! Das geht doch viel zu schnell. Kein Wunder, wenn du auf falsche Ergebnisse kommst. Man schreibt zunächst hin, was man berechnen soll. Dann kommt, wie man es berechnet, dann wird eingesetzt.
Dein Integrand ist (x-2)y !!!
>
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{2cos(t)*2sin(t)-4sin(t)*2 dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{2cos(t)*(-2*sin(t))*2 dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{-8cos(t)*sin(t) dt}[/mm]
>
> = [ -8*-1/4*cos(2t)] nun die Grenzen Einetzen
>
> = [ [mm]2*cos(2\pi)][/mm] - [ 2*cos(0)] = 0
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Ach verdammt. Dachte die ganze Zeit man muss die Klammer auflösen da es ja y*(x-2) ist.
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So nun versuche ichs mal mit dem richtigen Integral.
[mm] \integral_{0}^{\pi}{(r*cos(t)-2)*r*sin(t)*r dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi}{(r*cos(t)-2)*r^2*sin(t) dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi}{ r^3*cos(t)*sin(t)-2r^2*sin(t) dt }
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi}{ 8*cos(t)*sin(t)-16sin(t) dt }
[/mm]
= [ -2*cos(2t) + 16*cos(t) ] Nun mit Grenzen eingesetzt
= [ [mm] -2*cos(2\pi) [/mm] + [mm] 16*cos(\pi) [/mm] ] - [ -2*cos(0) + 16*cos(0) ] = -32
Wollte mich auch bei dir Bedanken das du mir versuchst zu helfen .
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Ich hoffe ich liege nicht völlig daneben und habe dich zum Kopfschütteln gebracht! Ich habe halt momentan ein paar Probleme in Mathe gebe aber mein bestes!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Di 25.03.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hi,
zunächst: Wenn du noch etwas kontrolliert haben möchtest, oder noch Fragen hast, dann stelle diese auch am besten als Frage. Sonst passiert es, dass die Frage untergeht 
> So nun versuche ichs mal mit dem richtigen Integral.
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{(r*cos(t)-2)*r*sin(t)*r dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{(r*cos(t)-2)*r^2*sin(t) dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{ r^3*cos(t)*sin(t)-2r^2*sin(t) dt }[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}{ 8*cos(t)*sin(t)-16sin(t) dt }[/mm]
hier macht du noch einen Fehler: Bei der 16. Es ist ja [mm] 2*2^2=8.
[/mm]
Somit ist der Wert des Integrals [mm] \int...=-16.
[/mm]
Dass du hier Hilfe bekommst ist doch ganz klar. Und wenn du wirklich auch den Willen hast es zu verstehen, umso besser.
Ein paar Tipps habe ich dir ja schon gegeben. Schreibe ruhig immer erst einmal alles hin, was du weißt und was du brauchst. Dann setze in aller Ruhe die Werte ein.
Damit ersparst du dir womöglich auch mehrmalige Rechnungen, weil du dich sonst tausendmal verrechnet hast. Außerdem ist es für den Kontrolleur viel besser, wenn er eine Struktur erkennt. Das ist ja wichtig in der Mathematik.
Viele Grüße
>
> = [ -2*cos(2t) + 16*cos(t) ] Nun mit Grenzen eingesetzt
>
> = [ [mm]-2*cos(2\pi)[/mm] + [mm]16*cos(\pi)[/mm] ] - [ -2*cos(0) + 16*cos(0)
> ] = -32
>
> Wollte mich auch bei dir Bedanken das du mir versuchst zu
> helfen .
>
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Ich danke dir für alles. Habe es ja jetzt und werde auch Mathe noch viel lernen um mich selber zu verbessern.
Ich wünsche dir einen Schönen Tag finde das Klasse das du anderen Leuten hilfst.
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