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Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
wir sollen folgende Kurve diskutieren:
[mm]f(x)=\bruch{1}{x*ln(x)}[/mm]
halt Definitionsbereich, NST, Extrema, Verhalten in der Umgebung von Lücken von D Asymptote.
Definitionsbereich:
-positive reele Zahlen, die größer oder gleich 2 sind
(hab aber leider keine Ahnung wie man das schreibt mein Vorschlag wäre:
[mm]D=R{\le2}[/mm]
1 ist eine Lücke und 0 die Asymptote (Muss die Lücke mit in den Definitionsbereich?)
[mm]\limes_{x\rightarrow\+1} \bruch{1}{x*ln(x)}= \infty[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\+infty} \bruch{1}{x*ln(x)}=0[/mm]
1. Ableitung Quotientenregel
[mm]f'(x)=\bruch{-1*(ln(x)+1)}{(x*ln(x))^2}[/mm]
[mm]=\bruch{-ln(x)-1}{(x*ln(x))^2}[/mm]
Nebenrechnung
Ableitung von [mm]xln(x)[/mm]
[mm]ln(x)+x*\bruch{1}{x}[/mm]
[mm]ln(x)+1[/mm]
2. Ableitung
[mm]f''(x)=\bruch{-\bruch{1}{x}*(xln(x))^2-(1*2(ln(x)+1))}{(x*ln(x))^2}[/mm]
Ähm und wie jetzt weiter wie quadriert man xln(x)
Nullstellen:
[mm]0=-ln(x)-1[/mm]
[mm]ln(x)=-1[/mm]
[mm]x=e^{-1}[/mm]
[mm]x=\bruch{1}{e}[/mm]
Extrema:
[mm]0=-\bruch{1}{x}-2ln(x)-2[/mm]
[mm]0=\bruch{1}{x}+2ln(x)+2[/mm]
mit e komm ich hier ja nich nicht wirklich weiter?
Wäre für Hilfe dankbar.
lg. Mareike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo!
Leider ist der Definitionsbereich falsch. Wie kommst du denn darauf?
Liebe Grüße
Seppel
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Hallo,
also gehen wir's mal durch:
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite
> gestellt.
>
> Hi,
> wir sollen folgende Kurve diskutieren:
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x*ln(x)}[/mm]
> halt Definitionsbereich, NST, Extrema, Verhalten in der
> Umgebung von Lücken von D Asymptote.
>
> Definitionsbereich:
> -positive reele Zahlen, die größer oder gleich 2 sind
> (hab aber leider keine Ahnung wie man das schreibt mein
> Vorschlag wäre:
> [mm]D=R{\le2}[/mm]
Das stimmt leider nicht ganz. 2 darf man durchaus in den Definitionsbereich mit reinziehen. Die 1 ist kritisch. Da wird der Nenner 0. Ich würde es so aufschreiben: [mm] D=\{x\in\IR:x>1\}.
[/mm]
>
> 1 ist eine Lücke und 0 die Asymptote (Muss die Lücke mit in
> den Definitionsbereich?)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\+1} \bruch{1}{x*ln(x)}= \infty[/mm]
Das stimmt nicht ganz. Betrachte mal den rechtsseitigen Grenzwert. Da läuft f gegen [mm] -\infty.
[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\+infty} \bruch{1}{x*ln(x)}=0[/mm]
Richtig!
>
> 1. Ableitung Quotientenregel
> [mm]f'(x)=\bruch{-1*(ln(x)+1)}{(x*ln(x))^2}[/mm]
> [mm]=\bruch{-ln(x)-1}{(x*ln(x))^2}[/mm]
Stimmt!
> Nebenrechnung
> Ableitung von [mm]xln(x)[/mm]
> [mm]ln(x)+x*\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]ln(x)+1[/mm]
>
> 2. Ableitung
>
> [mm]f''(x)=\bruch{-\bruch{1}{x}*(xln(x))^2-(1*2(ln(x)+1))}{(x*ln(x))^2}[/mm]
> Ähm und wie jetzt weiter wie quadriert man xln(x)
Ähm, das ist etwas falsch. Ich schreibe dir mal die Ableitung hin, so wie sie mein Programm ausgerechnet hat. Wenn du Fragen dazu hast, dann frage.
[mm] f''(x)=\bruch{-(\bruch{1}{x}*(x*ln(x))^{2}-2*(ln(x)+1)*(x*ln(x))*(ln(x)+1))}{(x*ln(x))^{4}}
[/mm]
>
> Nullstellen:
> [mm]0=-ln(x)-1[/mm]
> [mm]ln(x)=-1[/mm]
> [mm]x=e^{-1}[/mm]
> [mm]x=\bruch{1}{e}[/mm]
falsch! Die Funktion hat keine Nullstellen. Es gilt f(x)=0.
Multipliziere den Nenner rüber, dann steht da 1=0, also ein Widerspruch.
>
> Extrema:
> [mm]0=-\bruch{1}{x}-2ln(x)-2[/mm]
> [mm]0=\bruch{1}{x}+2ln(x)+2[/mm]
> mit e komm ich hier ja nich nicht wirklich weiter?
Wie kommst du darauf? Hierbei gilt f'(x)=0. Da steht also
[mm] \bruch{-ln(x)-1}{(x*ln(x))^2}=0 [/mm] |x>1
[mm] \gdw[/mm] [mm] -ln(x)-1=0[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]ln(x)=-1[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm] x=\bruch{1}{e}[/mm]
also rund x=0,36788
Jetzt noch in die zweite Ableitung. Dann kommt raus, dass das ein Hochpunkt ist.
>
> Wäre für Hilfe dankbar.
> lg. Mareike
Viele Grüße
Daniel
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