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| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | | Funktionsschar [mm] f_{k} [/mm] (x) = [mm] x^{k} [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] |
a) Bestimme die Schnittpunkte er zugehörigen Kurven [mm] C_{k} [/mm] mit den Koordinatenachsen und untersuche das Verhalten von [mm] f_{k} [/mm] für |x| [mm] \to [/mm] + (unendlich) in Abhängigkeit von k.
b) Zeige, dass [mm] f_{k} [/mm] an der Stelle x=k ein lokales Minimum besitz und dass alle Kurven [mm] C_{k} [/mm] durch den Hochpunkt [mm] H_{1} [/mm] von [mm] C_{1} [/mm] gehen.
c) Bestimme die Wendepunkte von [mm] C_{1} [/mm] .
d) Die Kurve [mm] C_{2} [/mm] , die x-Achse und die Gerade g:x=b, b> 0, schließen eine Fläche ein. Berechne den Inhalt A (b). Wie verhält sich A (b) für b [mm] \to [/mm] + (unendlich)?
e) Bestimme die Vorschrift der ganzrationalen Funktionen g dritten Grades, die dieselbe Nullstelle und dieselbe Extremstelle wie [mm] f_{4} [/mm] besitzt. Ausserdem hat g an der Stelle [mm] x_{w} [/mm] mit [mm] f_{4} (x_{w}) [/mm] = [mm] f_{4} (x_{w}) [/mm] = [mm] f_{4} [/mm] (x{w}) = 0 eine Wendestelle und an der Stelle x = 1 hat die Tangente die Steigung 9.
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Fangen gerade mit e-Funktionen an und ich bin ein hoffnungsloser Fall. Wäre lieb, wenn ihr mir ein wenig helfen könntet.
Liebe Grüße
bluemchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, bluemchen,
bevor ich mich an der Aufgabe verschlucke wie ein Goldfisch an einer Haifischflosse, beantworte mir bitte die Frage:
Was ist denn genau über den Parameter k bekannt?!
Ist er wirklich völlig beliebig?
Oder wird wenigstens 0 ausgeschlossen?
Ist er gar positiv?
Oder - was prima wäre aus [mm] \IZ [/mm] oder [mm] \IN?!
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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Ja sorry, stimmt.
[mm] k\in \IN
[/mm]
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Hi, bluemchen,
> Funktionsschar [mm]f_{k}[/mm] (x) = [mm]x^{k}[/mm] * [mm]e^{-x}[/mm]
>
> a) Bestimme die Schnittpunkte er zugehörigen Kurven [mm]C_{k}[/mm]
> mit den Koordinatenachsen und untersuche das Verhalten von
> [mm]f_{k}[/mm] für |x| [mm]\to[/mm] + (unendlich) in Abhängigkeit von k.
> b) Zeige, dass [mm]f_{k}[/mm] an der Stelle x=k ein lokales Minimum
> besitz und dass alle Kurven [mm]C_{k}[/mm] durch den Hochpunkt [mm]H_{1}[/mm]
> von [mm]C_{1}[/mm] gehen.
Also: Nur "natürliche Zahlen" für k.
a) Schnittstellen mit den Koordinatenachsen:
Für x=0 kriegst Du den Schnittpunkt mit der y-Achse: (0;0)
Dies ist - wie leicht nachzuweisen - auch der einzige gemeinsame Punkt mit der x-Achse.
Grenzwerte:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} f_{k}(x) [/mm] = 0
("e gewinnt" bzw. Regel von de L'Hospital)
[mm] \limes_{n\rightarrow -\infty} f_{k}(x) [/mm] = [mm] -\infty [/mm] für ungerades k,
[mm] \limes_{n\rightarrow -\infty} f_{k}(x) [/mm] = [mm] +\infty [/mm] für gerades k.
b) Ableitung mit Hilfe der Produktregel:
f'(x) = [mm] k*x^{k-1}*e^{-x} [/mm] - [mm] x^{k}*e^{-x}
[/mm]
f'(x) = [mm] (k*x^{k-1} [/mm] - [mm] x^{k})*e^{-x}
[/mm]
Schaffst Du nun die 2. Ableitung selbst?
Ich helf' Dir noch, die 1.Ableitung =0 zu setzen:
[mm] e^{-x} \not= [/mm] 0, daher: [mm] (k*x^{k-1} [/mm] - [mm] x^{k}) [/mm] = 0
Für k=1: x - 1 =0 <=> x=1 einzige Lösung.
Für k [mm] \ge [/mm] 2:
[mm] x^{k-1}*(k [/mm] - x) = 0 <=> [mm] x_{1} [/mm] = 0; [mm] x_{2} [/mm] = k
Und nun kommt ein Widerspruch zur Aufgabenstellung:
Die Kurven haben bei x=k kein MINIMUM, sondern ein MAXIMUM, was Du leicht Durch Einsetzen in die zweite Ableitung beweisen kannst! (Probier's!)
Der Hochpunkt von [mm] C_{1} [/mm] ist H(1 ; [mm] e^{-1}).
[/mm]
Dass er auf allen Kurven liegt, beweist Du durch Einsetzen seiner Koordinaten in die Funktionsgleichung:
[mm] f_{k}(1) [/mm] = [mm] e^{-1}. [/mm] (q.e.d.)
So! Jetzt denk' erst mal drüber nach - und lös' selber auch mal was!
mfG!
Zwerglein
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