Kurvendiskussion K1-K8 < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Godchie |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionsschar
[mm] f_a:x\to \bruch{2x}{x^2+a}; x\in D_{fa}.
[/mm]
Bestimmen Sie für die Funktionsschar [mm] g_{a}:x\to [/mm] ln [mm] (f_{a}(x)); [/mm] x= [mm] D_{ga} [/mm] den maximalen Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte und die Abszissen der Wendepunkte sowie das Monotonieverhalten in Abhängigkeit von dem Parameter a. |
Hallo bin ganz neu hier und bin sehr froh das es diese Seite gibt :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So ich habe folgendes selbst herausgefunden jedoch bin ich mir nicht sicher obs stimmt:
f(a)= [mm] \bruch{2x}{x^2+a} \to [/mm] g(a) = ln [mm] (f_{a}(x)) [/mm] x [mm] \in D_{ga}
[/mm]
[mm] \Rightarrow g(a)=\bruch{2(a-x^2)}{(x^2+a)^2}
[/mm]
K1: Definitionsbereich [mm] D_{f}=\IR \in [/mm] {a}
K2: Nullstellen [mm] \Rightarrow [/mm] g(a) = 0
[mm] x_{N1} [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{2}}{2}+\wurzel{\bruch{1}{2}-a-\wurzel{2a}} [/mm]
[mm] x_{N2} [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{2}}{2}-\wurzel{\bruch{1}{2}-a-\wurzel{2a}}
[/mm]
[mm] g(a)_{N1}=\bruch{4a+2\wurzel{2a}-2}{2a^2+2a+1} [/mm]
[mm] g(a)_{N2}=\bruch{4a+2\wurzel{2a}-2}{2a^2+2a+1}
[/mm]
[mm] N_{1}:[x_{N1}|g(a)_{N1}] [/mm]
[mm] N_{2}:[x_{N2}|g(a)_{N2}]
[/mm]
K3: Extremstellen
g(a)´=0
g(a)´= [mm] \bruch{4(x^3-3xa}{(a+x^2)^3}
[/mm]
[mm] x_{E1} [/mm] = [mm] +\wurzel{3a}
[/mm]
[mm] x_{E2} [/mm] = [mm] -\wurzel{3a}
[/mm]
g(a)´_{E1} = [mm] \bruch{9a\wurzel{3a}}{64a^2}
[/mm]
g(a)´_{E2} = [mm] \bruch{9a\wurzel{3a}}{8a^2}
[/mm]
[mm] E_{1}:[x_{E1}|g(a)_{E1}] [/mm]
[mm] E_{2}:[x_{E2}|g(a)_{E2}]
[/mm]
K4: Art der Extremstellen
[mm] x_{E1/2} [/mm] in g(a)´´ eingesetzt
g(a)´´ = [mm] \bruch{4(3x^4+3x^3+2x-9xa-3a^2}{(a+x^2)^4}
[/mm]
[mm] g(\wurzel{3a})´´_{x1} [/mm] = [mm] \bruch{12a^2+\wurzel{3a}}{32a^4} [/mm]
[mm] g(-\wurzel{3a})´´_{x2} [/mm] = [mm] \bruch{12a^2-\wurzel{3a}}{32a^4} [/mm] Das heißt [mm] E_{2}
[/mm]
Daraus schließe ich, dass a > 0 sein muss und dass [mm] E_{1} [/mm] die Maximale und [mm] E_{2} [/mm] die Minimale sein muss.
K5: Lage der Wendepunkte
g(a)´´ = 0
so den Teil hab ich nicht herausbekommen ich zeig mal meinen Rechenweg vielleicht hab ich ja einen Fehler oder ich steh einfach auf dem Schlauch.
0 = [mm] \bruch{4(3x^4+3x^3+2x-9xa-3a^2}{(a+x^2)^4} [/mm] / multipliziert [mm] mit(a+x^2)^4
[/mm]
0 = [mm] 4(3x^4+3x^3+2x-9xa-3a^2) [/mm] / dividiert duch 4
0 = [mm] 3x^4+3x^3+2x-9xa-3a^2
[/mm]
so das wars mit meiner Rechnung wie bekomme ich da jetzt mein [mm] x_{1/2/3....} [/mm] wie auch immer raus.
Mir fällt überhaupt nix ein. Hab mir dieser aufgabe schon mahrere Stunden verbracht und Blick gar nix mehr.
würd mich über Hilfe freuen
Godchie
ach die restlichen Punkte wären
K6:Funktionswerte
K7:Graph
K8:Monotonie- und Krümungsverhalten
die krieg ich aber hin wenn ich K5 hab.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh schon deinen zweiten Schritt nicht: $ [mm] g_{a}:x\to [/mm] $ ln $ [mm] (f_{a}(x)); [/mm] $
war gegeben, also [mm] g_a(x)=ln(f_a(x))=ln(\bruch{2x}{x^2+a})
[/mm]
du hast aber [mm] f_a'(x) [/mm] als [mm] g_a(x) [/mm] hingeschrieben.
bist du durcheinandergekommen, oder hast du die Aufgabe falsch geschrieben?
auch danach sind Fehler, wenn ich dein g(x) nhme. Aber darüber zu reden lohnt sich erst, wenn wir uns über [mm] g_a [/mm] einig sind.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Godchie |
> Hallo
> ich versteh schon deinen zweiten Schritt nicht:
> [mm]g_{a}:x\to[/mm] ln [mm](f_{a}(x));[/mm]
> war gegeben, also [mm]g_a(x)=ln(f_a(x))=ln(\bruch{2x}{x^2+a})[/mm]
Ich bin der Meinung das irgendwo gelesen zu habe das man auch so die Ableitung von Funktionen Abkürzen kann.
soll mir die Aufgabe sagen dass
[mm] g_{a} [/mm] = [mm] \bruch{ln (2x)}{ln(x^2+a)}
[/mm]
heißen soll ??
und was wäre dann die erste ableitung ??
ln = [mm] Log_{e} [/mm] = e oder nicht ??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Godchie |
> > Hallo
> > ich versteh schon deinen zweiten Schritt nicht:
> > [mm]g_{a}:x\to[/mm] ln [mm](f_{a}(x));[/mm]
> > war gegeben, also
> [mm]g_a(x)=ln(f_a(x))=ln(\bruch{2x}{x^2+a})[/mm]
>
>
> Ich bin der Meinung das irgendwo gelesen zu habe das man
> auch so die Ableitung von Funktionen Abkürzen kann.
>
> soll mir die Aufgabe sagen dass
>
> [mm]g_{a}[/mm] = [mm]\bruch{ln (2x)}{ln(x^2+a)}[/mm]
>
> heißen soll ??
>
> und was wäre dann die erste ableitung ??
>
> ln = [mm]Log_{e}[/mm] = e oder nicht ??
[mm] g_{a}´=\bruch{a-x^2}{ax+x^3}
[/mm]
Wär das mein Anfang ??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Abend!
...
> > und was wäre dann die erste ableitung ??
> >
> > ln = [mm]Log_{e}[/mm] = e oder nicht ??
>
> [mm]g_{a}´=\bruch{a-x^2}{ax+x^3}[/mm]
>
> Wär das mein Anfang ??
Benutze leduarts Hinweis:
[mm]g_a(x)=ln(f_a(x))=ln(\bruch{2x}{x^2+a})[/mm]
und wende die Logarithmengesetze an:
[mm]g_a(x)=ln(2x)-\ln(x^2+a)[/mm]
Bei der nachfolgenden Ableitung bitte die Kettenregel anzuwenden!
Salve
Pappus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Godchie |
Danke euch beiden muss jetzt zwar von neuem Anfangen aber zumindest diesmal richtig,
schönen Aben noch.
Und einen super Lob an die Erstellen in weniger als 1h Antworten bekommen.
LG Godchie
|
|
|
|
