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| Aufgabe | | Diskutieren Sie die Funktion [mm]f(x) = e^{2x-1} - e^{x+1}[/mm] bezüglich Nullstellen, Schnittpunkt mit der Y-Achse, Extrempunkte, Wendepunkte, Steigung und Gleichung der Wendetangenten, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen. Zeichnen Sie den Graphen von f(x). |
Also, ich befinde mich gerade in der Abiturvorbereitung und schreibe bald meine Vorklausur im Mathe GK. Normalerweise bin ich ziemlich fit in Mathe, aber an dieser Übungsaufgabe habe ich gesehen, wie schnell man das Gelernte wieder vergisst. Schon bei der Nullstellenberechnung kann ich die Lösung meiner Lehrerin nicht mehr nachvollziehen.
[mm]
\begin{matrix}
e^{2x-1} - e^{x+1} &=& 0 \\
\ e^{2x-1} &=& e^{x+1} \\
\ 2x-1 &=& x+1
\end{matrix}
[/mm]
Dem Rest kann ich selbstverständlich problemlos folgen, aber die Stelle, wo sie beide Seiten mit dem ln bearbeitet will sich mir irgendwie nicht erschließen.
Weiterhin komme ich bei der Berechnung der Extrema und Wendestellen nicht klar. Doch zunächst meine Ableitungen.
[mm]f' (x) = 2e^{2x-1} - e^{x+1}[/mm]
[mm]f'' (x) = 4e^{2x-1} - e^{x+1}[/mm]
[mm]f'' (x) = 8e^{2x-1} - e^{x+1}[/mm]
Nun wäre mein Ansatz zur Berechnung der Extrema natürlich Folgender:
[mm]
\begin{matrix}
2e^{2x-1} - e^{x+1} &=& 0 \\
\ 2e^{2x-1} &=& e^{x+1}
\end{matrix}
[/mm]
Ich könnte jetzt einfach das selbe machen wie meine Lehrerin bei den Nullstellen, nur wie verbinde ich das damit, dass der Term auf der linken Seite den Faktor 2 hat?
Meine Idee dazu wäre gewesen:
[mm]
\begin{matrix}
2e^{2x-1} &=& e^{x+1} \\
\ 2*(2x-1) &=& x+1
\end{matrix}
[/mm]
Jedoch kommt dabei nicht das Ergebnis heraus, das meine Lehrerin uns vorgegeben hat.
Auch entfallen ist mir die Definition und Berechnung einer Wendetangente. Ich finde das ein wenig beschämend, weil meine Mathe-Noten sonst eigentlich im 1er bis 2er Bereich liegen. Könntet ihr mir das auch nochmal erklären?
Hoffentlich könnt ihr mir dabei weiterhelfen. Auch wenn ihr mir bis zur Vorklausur heute um 16Uhr nicht mehr erklären könnt, wie diese Aufgabe zu bewältigen ist, würde ich mich sehr über Antworten freuen.
LG und tausend Dank im Voraus
~Wasty
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Do 21.09.2006 | | Autor: | SLe |
Zur Nullstellenberechnung: Der ln von einer e Funktion ist eben einfach das Argument der e-Funktion. Also ln [mm] (e^x) [/mm] = x.
Zur Extremwertberechnung: Wenn du auf zwei Funktionen die miteinander multipliziert werden die ln Funktion anwendest, kannst du diese getrennt auf die beiden anwenden. Also: ln (2 * e^(2x-1)) = ln (2) + 2x-1.
Die Wendepunkte bekommst du indem du die Nullstellen der 2. Ableitung berechnest. Die Steigung einer Wendetangente ist die Steigung der Funktion f(x) im Wendepunkt, also in die erste Ableitung das x für den Wendepunkt einfügen. Jetzt mußt du nur noch den y-Achsenabschnitt b der Wendetangente berechnen um die Geradengleichung der Tangente (g(x) = m*x + b) zu komplettieren: Also den x-Wert des Wendepunktes in die Tangentengleichung für x einstetzen, die Steigung der Tangente für m und den y-Wert für g(x). Jetzt kannst du den y-Achsenabschnitt b berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Do 21.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo SLe
Du hast dich mit dem ln vertan: ln(a*b)=lna+lnb
also [mm] ln(2*e^{2x-1})=ln2 +ln(e^{2x-1})=ln2+2x-1
[/mm]
an den Frager: ln ist die Umkehrfkt. von exp. fkt, so wie Wurzel die Umkehrfkt von Quadrat. und bei [mm] (2x-1)^{2}=x^{2} [/mm] hast du auch keine Zweifel dass du auf beiden Seiten die Wurzel ziehen kannst. und bei [mm] 2*2x-1)^{2}=x^{2} [/mm] natürlich auch nicht!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Do 21.09.2006 | | Autor: | SLe |
ja. Hast recht. Da hab ich nen Fehler gemacht. Habs jetzt ausgebessert.
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