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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Fiesta |
| Aufgabe 1 | Untersuchen Sie f auf den maximalen Definitionsbereich, die Nullstellen, den Achsenabschnitt, die Extrema und die Wendepunkte.
f(x)= [mm] \bruch{5e^x-4}{e^x+1} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie, dass f die Asymptoten -4 und 5 hat. |
Ich wollte nachfragen, wie ich am besten den maximalen Definitionsbereich beschreiben könnte.
Zu den Nullstellen wollte ich wissen, ob das Ergebnis so richtig sei:
[mm] \bruch{5e^x-4}{e^x+1} = 0 [/mm] [mm] |*e^x+1
[/mm]
[mm] \gdw 5e^x-4 [/mm] = 0 |+4
[mm] \gdw 5e^x [/mm] = 4 | /5
[mm] \gdw e^x [/mm] = 0,8 |ln
[mm] \gdw [/mm] x = -0,223
Ausserdem kommt es mir komisch vor, dass die Extrema und Wendepunkte nur 0 ergeben. Könnte das denn stimmen?
Wie zeige ich die Asymptoten nach?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Sa 16.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Untersuchen Sie f auf den maximalen Definitionsbereich, die
> Nullstellen, den Achsenabschnitt, die Extrema und die
> Wendepunkte.
>
> f(x)= [mm]\bruch{5e^x-4}{e^x+1}[/mm]
> Zeigen Sie, dass f die Asymptoten -4 und 5 hat.
> Ich wollte nachfragen, wie ich am besten den maximalen
> Definitionsbereich beschreiben könnte.
Du musst die Werte für x ausschliessen, bei denen der Nenner Null werden würde.
>
> Zu den Nullstellen wollte ich wissen, ob das Ergebnis so
> richtig sei:
>
> [mm]\bruch{5e^x-4}{e^x+1} = 0[/mm] [mm]|*e^x+1[/mm]
> [mm]\gdw 5e^x-4[/mm] = 0 |+4
> [mm]\gdw 5e^x[/mm] = 4 | /5
> [mm]\gdw e^x[/mm] = 0,8 |ln
> [mm]\gdw[/mm] x = -0,223
[mm] x=\ln(0,8) [/mm] ist ok.
>
> Ausserdem kommt es mir komisch vor, dass die Extrema und
> Wendepunkte nur 0 ergeben. Könnte das denn stimmen?
Zeige doch mal deine Rechnung dazu
>
> Wie zeige ich die Asymptoten nach?
Forme mal um:
[mm] $f(x)=\frac{5e^x-4}{e^x+1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{5e^x+5-5-4}{e^x+1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{5e^x+5-9}{e^x+1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{5(e^x+1)-9}{e^x+1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{5(e^x+1)}{e^{x}+1}-\frac{9}{e^x+1}$
[/mm]
[mm] $=5-\frac{9}{e^x+1}$
[/mm]
Nun lasse mal [mm] x\to\infty [/mm] laufen.
Für [mm] x\to-\infty [/mm] macht es Sinn, die Startgleichung zu nehmen, denn
[mm] \lim\limits_{x\to-\infty}e^{x}=0
[/mm]
Also
[mm] \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{5e^x-4}{e^x+1}=\frac{5\cdot0-4}{0+1}=\ldots
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Fiesta |
Extrema: f'(x)=0
[mm] \bruch{9e^x}{(e^x+1)^2} [/mm] = 0
[mm] 9e^x [/mm] = 0 ..
Wendepunkte: f''(x)=0
[mm] \bruch{-9e^2x+9e^x}{(e^x+1)^3} [/mm] = 0
[mm] -9e^2x+9e^x [/mm] = 0 ..
Man kann ja kein ln(0) ausrechnen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Sa 16.02.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Extrema: f'(x)=0
> [mm]\bruch{9e^x}{(e^x+1)^2}[/mm] = 0
> [mm]9e^x[/mm] = 0 ..
genau, was bedeutet das für die Funktion?
>
> Wendepunkte: f''(x)=0
> [mm]\bruch{-9e^2x+9e^x}{(e^x+1)^3}[/mm] = 0
> [mm]-9e^2x+9e^x[/mm] = 0 ..
Vermutlich ist es ein Tippfehler, aber so wie es da steht stimmt das nicht.
>
> Man kann ja kein ln(0) ausrechnen
Das stimmt, aber man kann die Gleichung durch eine Addition auf eine Form bringen bei der auf beiden Seiten keine 0 steht.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Fiesta |
wenn ich [mm] e^x+1 [/mm] = 0 setze, kommt raus:
[mm] e^x [/mm] = -1
und ln(-1) ergibt wieder Mathe Error -.-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Sa 16.02.2013 | | Autor: | notinX |
> wenn ich [mm]e^x+1[/mm] = 0 setze, kommt raus:
> [mm]e^x[/mm] = -1
> und ln(-1) ergibt wieder Mathe Error -.-
Das liegt daran, dass die Gleichung in den reellen Zahlen keine Lösung hat. Ist auch klar, denn die e-Fkt. ist immer [mm] $\geq [/mm] 0$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Fiesta |
Was heisst das denn jetzt für den maximalen Definitionsbereich?
Reicht die Rechnung? Oder muss da jegliche Begründung hin?
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Hallo
> Was heisst das denn jetzt für den maximalen
> Definitionsbereich?
> Reicht die Rechnung? Oder muss da jegliche Begründung
> hin?
Nö, als Begrüngung reicht, dass der Nenner stets positiv ist, also insbesondere [mm] $\neq [/mm] 0$
Damit ist der Bruch für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] definiert.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 17.02.2013 | | Autor: | Fiesta |
| Aufgabe | | [mm] f(x)= \bruch{5e^x-4}{e^x+1} [/mm] Integral: [0;5] |
Ich hätte gerne gewusst, wie man den Volumen des Körpers durch Rotation der Funktion um die x-Achse ausrechnet.
Mein Ansatz:
[mm] \pi \integral_{0}^{5} (\bruch{5e^x-4}{e^x+1})^2 dx [/mm]
[mm] \pi \integral_{0}^{5} (\bruch{25e^2^x -40e^x+16}{e^2^x+2e^x+1}) dx [/mm]
ist der letzte Schritt richtig, also die Quadrierung?
Wenn ja, wie kann man das danach am Besten lösen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Fiesta,
> [mm]f(x)= \bruch{5e^x-4}{e^x+1}[/mm] Integral: [0;5]
> Ich hätte gerne gewusst, wie man den Volumen des Körpers
> durch Rotation der Funktion um die x-Achse ausrechnet.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\pi \integral_{0}^{5} (\bruch{5e^x-4}{e^x+1})^2 dx[/mm]
>
> [mm]\pi \integral_{0}^{5} (\bruch{25e^2^x -40e^x+16}{e^2^x+2e^x+1}) dx[/mm]
>
> ist der letzte Schritt richtig, also die Quadrierung?
>
Hm, du meinst, den quadrierten Integrand auszumultiplizieren (denn quadriert ist er von Beginn an)?
Und BTW: dein Ansatz ist völlig richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ja, wie kann man das danach am Besten lösen?
Eine geschlossene Darstellung der Stammfunktion für dieses Integral gibt es, das ist die gute Nachricht. Die schlechte: so ganz einfach ist die nicht auszurechnen.
Sind dir insbesondere die Techniken der Substitution, der partiellen Integration sowie der Integration per Partialbruchzerlegung geläufig?
Meine Frage hat folgenden Hintergrund: im Rahmen der Schulmathematik werden solche Aufgaben heutzutage häufig gestellt, die obigen Methoden stehen nicht zur Verfügung sondern die entstehenden Integrale werden per GTR oder CAS berechnet.
Ansonsten kann ich dir auch nur eine erste Idee liefern. Ich würde den Integranden irgendwie in die folgenden Form zu zerlegen:
[mm]\left(\bruch{5e^x-4}{e^x+1}\right)^2=\bruch{A*e^x}{e^x+1}+\bruch{B*e^x+C}{\left(e^x+1\right)^2}[/mm],
mit dem Ziel, den linken Summanden durch Substitution zu integrieren, beim rechten müsste ich mir vermutlich noch weitere Tricks einfallen lassen.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 So 17.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]f(x)= \bruch{5e^x-4}{e^x+1}[/mm] Integral: [0;5]
> Ich hätte gerne gewusst, wie man den Volumen des Körpers
> durch Rotation der Funktion um die x-Achse ausrechnet.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\pi \integral_{0}^{5} (\bruch{5e^x-4}{e^x+1})^2 dx[/mm]
>
> [mm]\pi \integral_{0}^{5} (\bruch{25e^2^x -40e^x+16}{e^2^x+2e^x+1}) dx[/mm]
>
> ist der letzte Schritt richtig, also die Quadrierung?
Ja, aber wenn du wie folgt umformst, kannst du das mit der binomischen Formel quadrieren, dann sollte sich das Bilden der Stammfunktion vereinfachen.
$ [mm] f(x)=\frac{5e^x-4}{e^x+1} [/mm] $
$ [mm] =\frac{5e^x+5-5-4}{e^x+1} [/mm] $
$ [mm] =\frac{5e^x+5-9}{e^x+1} [/mm] $
$ [mm] =\frac{5(e^x+1)-9}{e^x+1} [/mm] $
$ [mm] =\frac{5(e^x+1)}{e^{x}+1}-\frac{9}{e^x+1} [/mm] $
$ [mm] =5-\frac{9}{e^x+1} [/mm] $
Marius
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Hallo Marius,
ich glaube nicht, dass es einfacher wird.
Du bekommst dann ein Integral [mm] $\int{\frac{1}{(e^x+1)^2} \ dx}$
[/mm]
Das zu berechnen, ist sicher auch kein Spaß ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 So 17.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
> Du bekommst dann ein Integral [mm]\int{\frac{1}{(e^x+1)^2} \ dx}[/mm]
>
> Das zu berechnen, ist sicher auch kein Spaß ...
Och, es gibt Schlimmeres. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 So 17.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo schachuzipus, reverend, Diophant und Fiesta.
> Hallo schachuzipus,
>
> > Du bekommst dann ein Integral [mm]\int{\frac{1}{(e^x+1)^2} \ dx}[/mm]
>
> >
> > Das zu berechnen, ist sicher auch kein Spaß ...
>
> Och, es gibt Schlimmeres.
Wohl wahr.
>
> Grüße
> reverend
>
Marius
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Aye!
Recht habe ihr!
Hab's nicht so schnell gesehen, aber es geht wahrlich schnell und mit wenig Aufwand!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 17.02.2013 | | Autor: | Fiesta |
Mit wenig Aufwand? Ich habe jedenfalls ne halbe Ewigkeit gebraucht. Wie ginge das denn so schnell?
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Hallo Fiesta,
> Mit wenig Aufwand? Ich habe jedenfalls ne halbe Ewigkeit
> gebraucht. Wie ginge das denn so schnell?
Im Prinzip so ähnlich wie schon weiter unten:
[mm] \bruch{1}{(e^x+1)^2}=\bruch{e^x+1}{(e^x+1)^2}-\bruch{e^x}{(e^x+1)^2}=\bruch{1}{e^x+1}-\bruch{e^x}{(e^x+1)^2}
[/mm]
Den linken Bruch kannst Du nun noch so ersetzen, wie weiter unten angegeben, so dass Du letztlich hast:
[mm] \int{\bruch{1}{(e^x+1)^2}dx}=\int{1 dx}-\int{\bruch{e^x}{(e^x+1)} dx}-\int{\bruch{e^x}{(e^x+1)^2} dx}
[/mm]
Die beiden Integrale mit den vermeintlich komplizierten Brüchen sind nun beide mit der Substitution [mm] u=e^x+1 [/mm] leicht zu "knacken".
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 So 17.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marius,
> Ja, aber wenn du wie folgt umformst, kannst du das mit der
> binomischen Formel quadrieren, dann sollte sich das Bilden
> der Stammfunktion vereinfachen.
>
>
> [mm]f(x)=\frac{5e^x-4}{e^x+1}[/mm]
> [mm]=\frac{5e^x+5-5-4}{e^x+1}[/mm]
> [mm]=\frac{5e^x+5-9}{e^x+1}[/mm]
> [mm]=\frac{5(e^x+1)-9}{e^x+1}[/mm]
> [mm]=\frac{5(e^x+1)}{e^{x}+1}-\frac{9}{e^x+1}[/mm]
> [mm]=5-\frac{9}{e^x+1}[/mm]
Das ist in der Tat besser als mein Versuch. Aber es bleibt ein nicht ganz triviales Integral der Form
[mm]\integral{\bruch{A}{e^x+1} dx}[/mm]
zu lösen. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 So 17.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant,
> Aber es bleibt
> ein nicht ganz triviales Integral der Form
>
> [mm]\integral{\bruch{A}{e^x+1} dx}[/mm]
>
> zu lösen.
Das A kann man ja vor das Integral ziehen.
Ansonsten gilt doch [mm] \bruch{1}{e^x+1}=1-\bruch{e^x}{e^x+1}.
[/mm]
Für die Integration empfiehlt sich dann die Substitution [mm] u=e^x+1.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 So 17.02.2013 | | Autor: | Fiesta |
Ich habe jetzt zwar eine Lösung, aber bin mir unsicher.
Nun leider würde es eine halbe Ewigkeit brauchen alles einzutippen. Würde sich jemand dafür bereit erklären eine Email von der Lösung zu bekommen um kurz nachzuhacken ob das so richtig ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 So 17.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo reverend,
> Das A kann man ja vor das Integral ziehen.
> Ansonsten gilt doch
> [mm]\bruch{1}{e^x+1}=1-\bruch{e^x}{e^x+1}.[/mm]
>
> Für die Integration empfiehlt sich dann die Substitution
> [mm]u=e^x+1.[/mm]
Genau: das ist ein schönes Beispiel für die Anwendung des Prinzips der nahrhaften Null:
[mm]\bruch{1}{e^x+1}=\bruch{e^x-e^x+1}{e^x+1}=\bruch{e^x+1}{e^x+1}-\bruch{e^x}{e^x+1}=1-\bruch{e^x}{e^x+1}[/mm]
Gruß, Diophant
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