Kurvendiskussion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Kurvendiskussion für folgende Funktion:
[mm] f(x)=\frac{1}{4}(e^{1-x})+\frac{3}{4}(e^{1+x})
[/mm]
bestimmen sie:
1.) alle Nullstellen von f(x)
2.) alle Extremalstellen von f samt ihrem Typ
3.) alle Wendepunkte von f
4.) die golbalen Extrema von f
5.) geben sie auch eine kurz zusammengefasste Charakterisierung (inkl. allfälliger globaler Charakteristiker wie zB Symmetrie, Monotonie,...- was immer zutrifft) |
Hallo ihr lieben :)
Habe heute ein Bsp. gefunden welches mit Probleme Bereitet.
schon bei Punkt NR 1 habe ich Probleme dies ohne Taschenrechner zu lösen (Taschenrechner nicht erlaubt)
da die Nullstellen von [mm] f(x)=\frac{1}{4}(e^{1-x})+\frac{3}{4}(e^{1+x}) [/mm] nicht so einfach mit umformen errechnet werden können (oder ich habe etwas übersehen) habe ich das ganze mittel Newton-Verfahren bearbeitet:
[mm] g(x_0)=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}
[/mm]
[mm] f'(x)=\frac{-1}{4}(e^{1-x})+\frac{3}{4}(e^{1+x})
[/mm]
daraus folgt ja, dass [mm] g(x_0)=x_0-\frac{
\frac{1}{4}(e^{1-x})+\frac{3}{4}(e^{1+x})}{\frac{1}{4}(e^{1-x})+\frac{3}{4}(e^{1+x})}=x_0-\frac{3e^{2x}+1}{3e^{2x}-1}
[/mm]
weiters habe ich einige Werte eingesetzt und kam zu dem Ergebnis, dass Meine Nullstelle zwischen x=1,1 und x=1,05 liegen muss.
Ohne Taschenrechner hätte ich das allerdings doch nie zeigen können :( Gibt es noch eine andere Möglichkeit ?
Die weiteren Lösungen der Aufgabe folgen, habe mir gedacht, dass dies jetzt zu unübersichtlich werden würde.
Liebe Grüße und danke für jede Hilfe, eure Meely
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Hallo meely!
Diese Funktion kann keine Nullstelle haben, da Du hier jeweils nur Terme addierst, welcher jeder für sich echt-größer als Null ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
Wow danke für die schnelle Antwort :)
Ok jetzt wird mir einiges klar :) also nutzen wir einfach die Tatsache dass die e-funktion nicht negativ werden kann?
Könnte ich dann einfach Antworten mit: "Diese Funktion besitzt keine Nullstellen, da jeder Term der Funktion > 0 ist." ?
Liebe Grüße, Meely
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Do 16.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wow danke für die schnelle Antwort :)
>
> Ok jetzt wird mir einiges klar :) also nutzen wir einfach
> die Tatsache dass die e-funktion nicht negativ werden
> kann?
besser: [mm] e^{blablablubber}> [/mm] 0 für jedes blablablubber [mm] \in \IR.
[/mm]
>
> Könnte ich dann einfach Antworten mit: "Diese Funktion
> besitzt keine Nullstellen, da jeder Term der Funktion > 0
> ist." ?
Du meinst das schon richtig, aber beser so:
$ [mm] f(x)=\frac{1}{4}(e^{1-x})+\frac{3}{4}(e^{1+x}) [/mm] $
In der Summe rechts ist jeder Summand >0, also ist f(x)>0 für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
>
>
> Liebe Grüße, Meely
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
Hallo FRED :) danke für die Verbesserung.
Habe nun NR 2 "die Extremalstellen betrachtet":
f'(x)=0 ; [mm] f'(x)=\frac{-1}{4}(e^{1-x})+\frac{3}{4}(e^{1+x})=0 [/mm]
woraus nach einiger Umformung folgt dass [mm] x=\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}
[/mm]
eingesetzt in f(x) -->
[mm] f(\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)})=(1/4)e^{1-\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}}+(3/4)e^{1+\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}}=(1/4)e(e^{\frac{-1+ln(3)}{1+ln(3)}}+3e^{\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}})
[/mm]
genau hier bleibe ich wieder ohne Taschenrechner :/ schätzen würde ich hier dass [mm] e^{\frac{-1+ln(3)}{1+ln(3)}}+3e^{\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}} [/mm] ca 4 wird und demnach das Ergebnis für den y-Wert ca. e sein würde.
Mit dem Taschenrechner komme ich auf 2,657...
gezeichnet habe ich die Funktion ebenfalls (Werte leider auch mit Taschenrechner :/) und sehe dass dies ein Wendepunkt ist.
Um dies rechnerisch zu zeigen, muss ich ja zuerst meinen wert 2,657... in die 2. Ableitung von f(x) einsetzen um zu sehen ob es sich um eine Hoch oder Tiefpunkt handelt und anschließend f''(x)=0 setzen, wert berechnen und danach f'''(x) berechnen und den wert von f''(x) einsetzen (?!)
--> also wenn ich f(x) 2 mal ableite bekomme ich f''(x)=f(x)
-->f''(2,657)=29.1 (leider auch wieder mit TR)
Demnach handelt es sich hier um einen Tiefpunkt.
f''(x)=0 setzte macht ja in diesem Fall ebenfalls keinen Sinn da f''(x) = f(x) > 0 und wenn ich mich recht erinnere ist doch einen Wendestelle daran zu erkennen dass [mm] f''(x)\not=0
[/mm]
Soweit in Ordnung was ich tue ? :)
Liebe Grüße, Meely :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Do 16.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED :) danke für die Verbesserung.
>
> Habe nun NR 2 "die Extremalstellen betrachtet":
>
> f'(x)=0 ;
> [mm]f'(x)=\frac{-1}{4}(e^{1-x})+\frac{3}{4}(e^{1+x})=0[/mm]
>
> woraus nach einiger Umformung folgt dass
> [mm]x=\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}[/mm]
Das stimmt hinten und vorne nicht !
Zeig mal diese Umformungen her.
FRED
>
> eingesetzt in f(x) -->
>
> [mm]f(\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)})=(1/4)e^{1-\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}}+(3/4)e^{1+\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}}=(1/4)e(e^{\frac{-1+ln(3)}{1+ln(3)}}+3e^{\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}})[/mm]
>
> genau hier bleibe ich wieder ohne Taschenrechner :/
> schätzen würde ich hier dass
> [mm]e^{\frac{-1+ln(3)}{1+ln(3)}}+3e^{\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}}[/mm]
> ca 4 wird und demnach das Ergebnis für den y-Wert ca. e
> sein würde.
>
> Mit dem Taschenrechner komme ich auf 2,657...
> gezeichnet habe ich die Funktion ebenfalls (Werte leider
> auch mit Taschenrechner :/) und sehe dass dies ein
> Wendepunkt ist.
>
> Um dies rechnerisch zu zeigen, muss ich ja zuerst meinen
> wert 2,657... in die 2. Ableitung von f(x) einsetzen um zu
> sehen ob es sich um eine Hoch oder Tiefpunkt handelt und
> anschließend f''(x)=0 setzen, wert berechnen und danach
> f'''(x) berechnen und den wert von f''(x) einsetzen (?!)
>
> --> also wenn ich f(x) 2 mal ableite bekomme ich
> f''(x)=f(x)
> -->f''(2,657)=29.1 (leider auch wieder mit TR)
>
> Demnach handelt es sich hier um einen Tiefpunkt.
>
> f''(x)=0 setzte macht ja in diesem Fall ebenfalls keinen
> Sinn da f''(x) = f(x) > 0 und wenn ich mich recht erinnere
> ist doch einen Wendestelle daran zu erkennen dass
> [mm]f''(x)\not=0[/mm]
>
> Soweit in Ordnung was ich tue ? :)
>
> Liebe Grüße, Meely :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
> > Hallo FRED :) danke für die Verbesserung.
> >
> > Habe nun NR 2 "die Extremalstellen betrachtet":
> >
> > f'(x)=0 ;
> > [mm]f'(x)=\frac{-1}{4}(e^{1-x})+\frac{3}{4}(e^{1+x})=0[/mm]
> >
> > woraus nach einiger Umformung folgt dass
> > [mm]x=\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}[/mm]
>
> Das stimmt hinten und vorne nicht !
>
> Zeig mal diese Umformungen her.
>
danke nochmal für die Antwort :)
[mm] \frac{-1}{4}(e^{1-x})+\frac{3}{4}(e^{1+x})=0
[/mm]
[mm] \frac{1}{4}(e^{1-x})=\frac{3}{4}(e^{1+x})
[/mm]
[mm] e^{1-x}=3e^{1+x}
[/mm]
1-x=ln(3)(1+x)
1-x=ln(3)+x*ln(3)
1-ln(3)=x+x*ln(3)
1-ln(3)=x(1+ln(3))
[mm] x=\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}
[/mm]
So habe ich das gemacht :)
Liebe Grüße, Meely
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
ups sorry habe meinen fehler entdeckt: ln(x*y)=ln(x)+ln(y)
demnach ist x=(-1/2)ln(3)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Do 16.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo FRED :) danke für die Verbesserung.
> > >
> > > Habe nun NR 2 "die Extremalstellen betrachtet":
> > >
> > > f'(x)=0 ;
> > > [mm]f'(x)=\frac{-1}{4}(e^{1-x})+\frac{3}{4}(e^{1+x})=0[/mm]
> > >
> > > woraus nach einiger Umformung folgt dass
> > > [mm]x=\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}[/mm]
> >
> > Das stimmt hinten und vorne nicht !
> >
> > Zeig mal diese Umformungen her.
> >
>
> danke nochmal für die Antwort :)
>
> [mm]\frac{-1}{4}(e^{1-x})+\frac{3}{4}(e^{1+x})=0[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{4}(e^{1-x})=\frac{3}{4}(e^{1+x})[/mm]
> [mm]e^{1-x}=3e^{1+x}[/mm]
>
> 1-x=ln(3)(1+x)
Düdeldüdeldüdel...... Was haben wir auf der Schule gelernt ?
Das nicht: [mm] $\ln(a*b)=\ln(a)*\ln(b)$ [/mm] !!!!!!
Aber das: [mm] $\ln(a*b)=\ln(a)+\ln(b)$
[/mm]
FRED
>
> 1-x=ln(3)+x*ln(3)
>
> 1-ln(3)=x+x*ln(3)
>
> 1-ln(3)=x(1+ln(3))
>
> [mm]x=\frac{1-ln(3)}{1+ln(3)}[/mm]
>
> So habe ich das gemacht :)
>
> Liebe Grüße, Meely
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
Danke. Hab es leider erst bemerkt als ich es gesendet habe :)
demnach ist ja [mm] x=\frac{-ln(3)}{2}
[/mm]
also folgt nun wieder das einsetzen in f(x):
[mm] f(\frac{-ln(3)}{2})=(1/4)e^{1+\frac{ln(3)}{2}}+(3/4)e^{1\frac{-ln(3)}{2}}
[/mm]
[mm] =(1/4)e(\sqrt{3}+\frac{3}{\sqrt{3}})=(1/4)e(\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}})=(1/4)e(\frac{6}{\sqrt{3}})=\frac{3e}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}e}{2}
[/mm]
ich hoffe dass es diesmal stimmt :)
Liebe Grüße
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Hallo meely,
> Danke. Hab es leider erst bemerkt als ich es gesendet habe
> :)
>
> demnach ist ja [mm]x=\frac{-ln(3)}{2}[/mm]
>
> also folgt nun wieder das einsetzen in f(x):
>
> [mm]f(\frac{-ln(3)}{2})=(1/4)e^{1+\frac{ln(3)}{2}}+(3/4)e^{1\frac{-ln(3)}{2}}[/mm]
>
> [mm]=(1/4)e(\sqrt{3}+\frac{3}{\sqrt{3}})=(1/4)e(\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}})=(1/4)e(\frac{6}{\sqrt{3}})=\frac{3e}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}e}{2}[/mm]
>
> ich hoffe dass es diesmal stimmt :)
>
Ja, diesmal stimmts. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
Hallo MathePower :D danke für deine Antwort.
Ich hatte glaube ich gerade eine mathematische Erkenntnis:
Ich habe nun errechnet dass [mm] f(\frac{-ln(3)}{2})=\frac{\sqrt{3}e}{2}
[/mm]
Normalerweise setzt man diesen Wert ja nun in f'' ein um zu überprüfen ob es sich um einen Hoch oder Tiefpunkt handelt.
ich weiß allerding schon dass f''(x)=f(x)>0
demnach muss es sich hierbei ohne Rechenarbeit schon um einen Tiefpunkt handeln. Bzw sogar um einen globalen Tiefpunkt :D
f'''(x) ist ebenfalls [mm] \not= [/mm] 0 also handelt es sich um eine Wendestelle.
Also NR 5: zusammengefasst habe ich nun eine Funktion die
1.) keine Nullstellen besitzt
2.) einen Tiefpunkt an der Stelle [mm] (\frac{-ln(3)}{2},\frac{\sqrt{3}e}{2})
[/mm]
3.) dieser Tiefpunkt ist eine Wendestelle
4.) der Extrempunkt ist ein globaler Tiefpunkt der Funktion
5.) die Funktion ist von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \frac{-ln(3)}{2} [/mm] monoton fallend und von [mm] \frac{-ln(3)}{2} [/mm] bis [mm] \infty [/mm] monoton wachsend.
Und ich glaube dass die funktion im Punkt x=frac{-ln(3)}{2} symmetrisch ist :) (weiß leider nicht wie ich das zeige)
Ich hoffe meine Erkenntnis ist auch richtig :)
Liebe Grüße und danke vielmals für eure Hilfe,
Meely
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Hallo meely,
> Hallo MathePower :D danke für deine Antwort.
>
> Ich hatte glaube ich gerade eine mathematische Erkenntnis:
>
> Ich habe nun errechnet dass
> [mm]f(\frac{-ln(3)}{2})=\frac{\sqrt{3}e}{2}[/mm]
>
> Normalerweise setzt man diesen Wert ja nun in f'' ein um zu
> überprüfen ob es sich um einen Hoch oder Tiefpunkt
> handelt.
>
> ich weiß allerding schon dass f''(x)=f(x)>0
>
> demnach muss es sich hierbei ohne Rechenarbeit schon um
> einen Tiefpunkt handeln. Bzw sogar um einen globalen
> Tiefpunkt :D
>
> f'''(x) ist ebenfalls [mm]\not=[/mm] 0 also handelt es sich um eine
> Wendestelle.
>
> Also NR 5: zusammengefasst habe ich nun eine Funktion die
>
> 1.) keine Nullstellen besitzt
> 2.) einen Tiefpunkt an der Stelle
> [mm](\frac{-ln(3)}{2},\frac{\sqrt{3}e}{2})[/mm]
> 3.) dieser Tiefpunkt ist eine Wendestelle
> 4.) der Extrempunkt ist ein globaler Tiefpunkt der
> Funktion
> 5.) die Funktion ist von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\frac{-ln(3)}{2}[/mm]
> monoton fallend und von [mm]\frac{-ln(3)}{2}[/mm] bis [mm]\infty[/mm] monoton
> wachsend.
> Und ich glaube dass die funktion im Punkt
> x=frac{-ln(3)}{2} symmetrisch ist :) (weiß leider nicht
> wie ich das zeige)
>
Für die Achsensymmetrie mußt Du zeigen:
[mm]f\left(x-s\right)-f\left(x\right)=f\left(x+s\right)-f\left(x\right)[/mm]
wobei s der Abstand zu x ist.
>
> Ich hoffe meine Erkenntnis ist auch richtig :)
>
Der Tiefpunkt ist keine Wendestelle.
> Liebe Grüße und danke vielmals für eure Hilfe,
>
> Meely
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
> Hallo meely,
>
> > Hallo MathePower :D danke für deine Antwort.
> >
> > Ich hatte glaube ich gerade eine mathematische Erkenntnis:
> >
> > Ich habe nun errechnet dass
> > [mm]f(\frac{-ln(3)}{2})=\frac{\sqrt{3}e}{2}[/mm]
> >
> > Normalerweise setzt man diesen Wert ja nun in f'' ein um zu
> > überprüfen ob es sich um einen Hoch oder Tiefpunkt
> > handelt.
> >
> > ich weiß allerding schon dass f''(x)=f(x)>0
> >
> > demnach muss es sich hierbei ohne Rechenarbeit schon um
> > einen Tiefpunkt handeln. Bzw sogar um einen globalen
> > Tiefpunkt :D
> >
> > f'''(x) ist ebenfalls [mm]\not=[/mm] 0 also handelt es sich um eine
> > Wendestelle.
> >
> > Also NR 5: zusammengefasst habe ich nun eine Funktion die
> >
> > 1.) keine Nullstellen besitzt
> > 2.) einen Tiefpunkt an der Stelle
> > [mm](\frac{-ln(3)}{2},\frac{\sqrt{3}e}{2})[/mm]
> > 3.) dieser Tiefpunkt ist eine Wendestelle
> > 4.) der Extrempunkt ist ein globaler Tiefpunkt der
> > Funktion
> > 5.) die Funktion ist von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\frac{-ln(3)}{2}[/mm]
> > monoton fallend und von [mm]\frac{-ln(3)}{2}[/mm] bis [mm]\infty[/mm] monoton
> > wachsend.
> > Und ich glaube dass die funktion im Punkt
> > x=frac{-ln(3)}{2} symmetrisch ist :) (weiß leider nicht
> > wie ich das zeige)
> >
>
>
> Für die Achsensymmetrie mußt Du zeigen:
>
> [mm]f\left(x-s\right)-f\left(x\right)=f\left(x+s\right)-f\left(x\right)[/mm]
>
> wobei s der Abstand zu x ist.
Reicht es nicht zu zeigen dass f(x)=f(-x) ?
dann würde ich nämlich auf y-Achsen-Symmetrie kommen:
[mm] e^{1-x}+3e^{1+x}=e^{1+x}+3e^{1-x}
[/mm]
[mm] \frac{e^{-x}}{e^{x}}=\frac{e^{-x}}{e^{x}}
[/mm]
--> Symmetrie
>
>
> >
> > Ich hoffe meine Erkenntnis ist auch richtig :)
> >
>
>
> Der Tiefpunkt ist keine Wendestelle.
Aja du hast natürlich vollkommen Recht :)
dieser Tiefpunkt kann natürlich keine Wendestelle sein.
Allerdings verwundert mich dann, dass [mm] f'''(x)\not=0
[/mm]
könntest du mir das vielleicht noch erklären?
Vielen lieben Dank MathePower :) bist mir ne große Hilfe
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Do 16.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo meely,
> >
> > > Hallo MathePower :D danke für deine Antwort.
> > >
> > > Ich hatte glaube ich gerade eine mathematische Erkenntnis:
> > >
> > > Ich habe nun errechnet dass
> > > [mm]f(\frac{-ln(3)}{2})=\frac{\sqrt{3}e}{2}[/mm]
> > >
> > > Normalerweise setzt man diesen Wert ja nun in f'' ein um zu
> > > überprüfen ob es sich um einen Hoch oder Tiefpunkt
> > > handelt.
> > >
> > > ich weiß allerding schon dass f''(x)=f(x)>0
> > >
> > > demnach muss es sich hierbei ohne Rechenarbeit schon um
> > > einen Tiefpunkt handeln. Bzw sogar um einen globalen
> > > Tiefpunkt :D
> > >
> > > f'''(x) ist ebenfalls [mm]\not=[/mm] 0 also handelt es sich um eine
> > > Wendestelle.
> > >
> > > Also NR 5: zusammengefasst habe ich nun eine Funktion die
> > >
> > > 1.) keine Nullstellen besitzt
> > > 2.) einen Tiefpunkt an der Stelle
> > > [mm](\frac{-ln(3)}{2},\frac{\sqrt{3}e}{2})[/mm]
> > > 3.) dieser Tiefpunkt ist eine Wendestelle
> > > 4.) der Extrempunkt ist ein globaler Tiefpunkt der
> > > Funktion
> > > 5.) die Funktion ist von [mm]-\infty[/mm] bis
> [mm]\frac{-ln(3)}{2}[/mm]
> > > monoton fallend und von [mm]\frac{-ln(3)}{2}[/mm] bis [mm]\infty[/mm] monoton
> > > wachsend.
> > > Und ich glaube dass die funktion im Punkt
> > > x=frac{-ln(3)}{2} symmetrisch ist :) (weiß leider nicht
> > > wie ich das zeige)
> > >
> >
> >
> > Für die Achsensymmetrie mußt Du zeigen:
> >
> >
> [mm]f\left(x-s\right)-f\left(x\right)=f\left(x+s\right)-f\left(x\right)[/mm]
> >
> > wobei s der Abstand zu x ist.
>
> Reicht es nicht zu zeigen dass f(x)=f(-x) ?
>
> dann würde ich nämlich auf y-Achsen-Symmetrie kommen:
>
> [mm]e^{1-x}+3e^{1+x}=e^{1+x}+3e^{1-x}[/mm]
Das stimmt doch nicht !
>
> [mm]\frac{e^{-x}}{e^{x}}=\frac{e^{-x}}{e^{x}}[/mm]
>
> --> Symmetrie
>
> >
> >
> > >
> > > Ich hoffe meine Erkenntnis ist auch richtig :)
> > >
> >
> >
> > Der Tiefpunkt ist keine Wendestelle.
>
> Aja du hast natürlich vollkommen Recht :)
> dieser Tiefpunkt kann natürlich keine Wendestelle sein.
>
> Allerdings verwundert mich dann, dass [mm]f'''(x)\not=0[/mm]
Auch das stimmt nicht !
FRED
>
> könntest du mir das vielleicht noch erklären?
>
> Vielen lieben Dank MathePower :) bist mir ne große Hilfe
>
>
> Liebe Grüße
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
Hallo FRED :)
> >
> > Reicht es nicht zu zeigen dass f(x)=f(-x) ?
> >
> > dann würde ich nämlich auf y-Achsen-Symmetrie kommen:
> >
> > [mm]e^{1-x}+3e^{1+x}=e^{1+x}+3e^{1-x}[/mm]
>
> Das stimmt doch nicht !
Tut mir leid habe mich verrechnet.
in diesem Bsp: [mm] f(x)\not=f(-x) [/mm] --> keine Symmetrie (außer meine methode ist falsch)
aber im allgemeinen kann ich doch mittels berechnung von f(-x) und dem Vergleich mit f(x) Symmetrie nachweisen ?!
>
>
>
> >
> > [mm]\frac{e^{-x}}{e^{x}}=\frac{e^{-x}}{e^{x}}[/mm]
> >
> > --> Symmetrie
> >
> > >
> > >
> > > >
> > > > Ich hoffe meine Erkenntnis ist auch richtig :)
> > > >
> > >
> > >
> > > Der Tiefpunkt ist keine Wendestelle.
> >
> > Aja du hast natürlich vollkommen Recht :)
> > dieser Tiefpunkt kann natürlich keine Wendestelle
> sein.
> >
> > Allerdings verwundert mich dann, dass [mm]f'''(x)\not=0[/mm]
>
> Auch das stimmt nicht !
Ich bin dumm :( habe gerade alles durcheinander gebracht.
Also [mm] f''(x)\not=0 [/mm] und daher ist der Tiefpunkt auch keine Wendestelle, da ja die Vorraussetzung für eine Wendestelle f''(x)=0 ist.
was ich im Kopf hatte war die hinreichende Bedingung f''(x)=0 [mm] \wedge f'''(x)\not=0 [/mm] für die Wendestelle.
nochmal zusammenfassend die vorläufige Lösung des Bsp:
ich weiß dass f(x):
1.) keine Nullstellen besitzt
2.) einen Tiefpunkt an der Stelle [mm] (\frac{-ln(3)}{2},\frac{\sqrt{3}e}{2})
[/mm]
3.) dieser Tiefpunkt keine Wendestelle -> keine Wendestelle ist vorhanden
4.) der Extrempunkt ist ein globaler Tiefpunkt der Funktion
5.) die Funktion ist von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \frac{-ln(3)}{2} [/mm] monoton fallend und von [mm] \frac{-ln(3)}{2} [/mm] bis [mm] \infty [/mm] monoton wachsend.
6.) die Funktion ist nicht Symmetrisch.
7.) da f''(x) positiv --> Funktion (streng) konvex
Hab ich was vergessen? Oder Fehler?
Danke danke danke danke danke für die liebe Geduld :)
Liebe Grüße
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Hallo meely,
> Hallo FRED :)
>
> > >
> > > Reicht es nicht zu zeigen dass f(x)=f(-x) ?
> > >
> > > dann würde ich nämlich auf y-Achsen-Symmetrie kommen:
> > >
> > > [mm]e^{1-x}+3e^{1+x}=e^{1+x}+3e^{1-x}[/mm]
> >
> > Das stimmt doch nicht !
>
> Tut mir leid habe mich verrechnet.
>
> in diesem Bsp: [mm]f(x)\not=f(-x)[/mm] --> keine Symmetrie (außer
> meine methode ist falsch)
>
Es liegt keine Symmetrie zum Ursprung vor.
> aber im allgemeinen kann ich doch mittels berechnung von
> f(-x) und dem Vergleich mit f(x) Symmetrie nachweisen ?!
>
Wenn Du den Symmetriepunkt der Funktion
in den Ursprung verschiebst, ja.
> >
> >
> >
> > >
> > > [mm]\frac{e^{-x}}{e^{x}}=\frac{e^{-x}}{e^{x}}[/mm]
> > >
> > > --> Symmetrie
> > >
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Ich hoffe meine Erkenntnis ist auch richtig :)
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Der Tiefpunkt ist keine Wendestelle.
> > >
> > > Aja du hast natürlich vollkommen Recht :)
> > > dieser Tiefpunkt kann natürlich keine Wendestelle
> > sein.
> > >
> > > Allerdings verwundert mich dann, dass [mm]f'''(x)\not=0[/mm]
> >
> > Auch das stimmt nicht !
>
> Ich bin dumm :( habe gerade alles durcheinander gebracht.
> Also [mm]f''(x)\not=0[/mm] und daher ist der Tiefpunkt auch keine
> Wendestelle, da ja die Vorraussetzung für eine Wendestelle
> f''(x)=0 ist.
>
> was ich im Kopf hatte war die hinreichende Bedingung
> f''(x)=0 [mm]\wedge f'''(x)\not=0[/mm] für die Wendestelle.
>
>
>
> nochmal zusammenfassend die vorläufige Lösung des Bsp:
>
> ich weiß dass f(x):
> 1.) keine Nullstellen besitzt
> 2.) einen Tiefpunkt an der Stelle
> [mm](\frac{-ln(3)}{2},\frac{\sqrt{3}e}{2})[/mm]
> 3.) dieser Tiefpunkt keine Wendestelle -> keine
> Wendestelle ist vorhanden
> 4.) der Extrempunkt ist ein globaler Tiefpunkt der
> Funktion
> 5.) die Funktion ist von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\frac{-ln(3)}{2}[/mm]
> monoton fallend und von [mm]\frac{-ln(3)}{2}[/mm] bis [mm]\infty[/mm] monoton
> wachsend.
> 6.) die Funktion ist nicht Symmetrisch.
Siehe oben: Keine Symmetrie zum Ursprung.
> 7.) da f''(x) positiv --> Funktion (streng) konvex
>
> Hab ich was vergessen? Oder Fehler?
>
> Danke danke danke danke danke für die liebe Geduld :)
>
> Liebe Grüße
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
Hallo :)
> >
> > in diesem Bsp: [mm]f(x)\not=f(-x)[/mm] --> keine Symmetrie (außer
> > meine methode ist falsch)
> >
>
>
> Es liegt keine Symmetrie zum Ursprung vor.
>
>
> > aber im allgemeinen kann ich doch mittels berechnung von
> > f(-x) und dem Vergleich mit f(x) Symmetrie nachweisen ?!
> >
>
>
> Wenn Du den Symmetriepunkt der Funktion
> in den Ursprung verschiebst, ja.
Bis jetzt ist mir bekannt dass es Punkt- und Achsensymmetrie gibt.
jedoch gilt bei dieser Funktion weder f(x)=f(-x) , noch f(-x)=-f(x). demnach sind die beiden Symmetrien nicht möglich ?!
Ich glaube ich habe jetzt verstanden was du mit f(x-s)-f(x)=f(x+s)-f(x) meintest: Mein Tiefpunkt liegt ja nicht bei x=0 sondern bei [mm] x=\frac{-ln(3)}{2}
[/mm]
das würde doch bedeuten dass mein [mm] s=\frac{-ln(3)}{2} [/mm] damit ich das ganze verschiebe und die Symmetrie richtig prüfen kann... ?!
Ich kenn diese Form so: [mm] f(x_0-s)=f(x_0+s) [/mm] für Achsensymmetrie und [mm] f(x_0-s)-f(x_0)=f(x_0+s)-f(x_0) [/mm] für die Punktsymmetrie
>
>
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\frac{e^{-x}}{e^{x}}=\frac{e^{-x}}{e^{x}}[/mm]
> > > >
> > > > --> Symmetrie
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Ich hoffe meine Erkenntnis ist auch richtig :)
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Der Tiefpunkt ist keine Wendestelle.
> > > >
> > > > Aja du hast natürlich vollkommen Recht :)
> > > > dieser Tiefpunkt kann natürlich keine
> Wendestelle
> > > sein.
> > > >
> > > > Allerdings verwundert mich dann, dass [mm]f'''(x)\not=0[/mm]
> > >
> > > Auch das stimmt nicht !
> >
> > Ich bin dumm :( habe gerade alles durcheinander gebracht.
> > Also [mm]f''(x)\not=0[/mm] und daher ist der Tiefpunkt auch
> keine
> > Wendestelle, da ja die Vorraussetzung für eine Wendestelle
> > f''(x)=0 ist.
> >
> > was ich im Kopf hatte war die hinreichende Bedingung
> > f''(x)=0 [mm]\wedge f'''(x)\not=0[/mm] für die Wendestelle.
> >
> >
> >
> > nochmal zusammenfassend die vorläufige Lösung des Bsp:
> >
> > ich weiß dass f(x):
> > 1.) keine Nullstellen besitzt
> > 2.) einen Tiefpunkt an der Stelle
> > [mm](\frac{-ln(3)}{2},\frac{\sqrt{3}e}{2})[/mm]
> > 3.) dieser Tiefpunkt keine Wendestelle -> keine
> > Wendestelle ist vorhanden
> > 4.) der Extrempunkt ist ein globaler Tiefpunkt der
> > Funktion
> > 5.) die Funktion ist von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\frac{-ln(3)}{2}[/mm]
> > monoton fallend und von [mm]\frac{-ln(3)}{2}[/mm] bis [mm]\infty[/mm] monoton
> > wachsend.
> > 6.) die Funktion ist nicht Symmetrisch.
>
>
> Siehe oben: Keine Symmetrie zum Ursprung.
>
>
> > 7.) da f''(x) positiv --> Funktion (streng) konvex
> >
> > Hab ich was vergessen? Oder Fehler?
> >
Bis auf die Symmetrie ist ansonsten alles richtig ? :)
>
>
> Gruss
> MathePower
Liebe Grüße
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Hallo meely,
> Hallo :)
>
> > >
> > > in diesem Bsp: [mm]f(x)\not=f(-x)[/mm] --> keine Symmetrie (außer
> > > meine methode ist falsch)
> > >
> >
> >
> > Es liegt keine Symmetrie zum Ursprung vor.
> >
> >
> > > aber im allgemeinen kann ich doch mittels berechnung von
> > > f(-x) und dem Vergleich mit f(x) Symmetrie nachweisen ?!
> > >
> >
> >
> > Wenn Du den Symmetriepunkt der Funktion
> > in den Ursprung verschiebst, ja.
>
> Bis jetzt ist mir bekannt dass es Punkt- und
> Achsensymmetrie gibt.
>
> jedoch gilt bei dieser Funktion weder f(x)=f(-x) , noch
> f(-x)=-f(x). demnach sind die beiden Symmetrien nicht
> möglich ?!
>
Ja.
> Ich glaube ich habe jetzt verstanden was du mit
> f(x-s)-f(x)=f(x+s)-f(x) meintest: Mein Tiefpunkt liegt ja
> nicht bei x=0 sondern bei [mm]x=\frac{-ln(3)}{2}[/mm]
>
> das würde doch bedeuten dass mein [mm]s=\frac{-ln(3)}{2}[/mm] damit
> ich das ganze verschiebe und die Symmetrie richtig prüfen
> kann... ?!
>
"x" ist hier der Symmetriepunkt,
demnach ist [mm]x=\frac{-ln(3)}{2}[/mm] zu setzen.
Und "s" ist beliebig.
> Ich kenn diese Form so: [mm]f(x_0-s)=f(x_0+s)[/mm] für
> Achsensymmetrie und [mm]f(x_0-s)-f(x_0)=f(x_0+s)-f(x_0)[/mm] für
> die Punktsymmetrie
>
>
>
> >
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> > > >
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > [mm]\frac{e^{-x}}{e^{x}}=\frac{e^{-x}}{e^{x}}[/mm]
> > > > >
> > > > > --> Symmetrie
> > > > >
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> > > > > > >
> > > > > > > Ich hoffe meine Erkenntnis ist auch richtig :)
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Der Tiefpunkt ist keine Wendestelle.
> > > > >
> > > > > Aja du hast natürlich vollkommen Recht :)
> > > > > dieser Tiefpunkt kann natürlich keine
> > Wendestelle
> > > > sein.
> > > > >
> > > > > Allerdings verwundert mich dann, dass [mm]f'''(x)\not=0[/mm]
> > > >
> > > > Auch das stimmt nicht !
> > >
> > > Ich bin dumm :( habe gerade alles durcheinander gebracht.
> > > Also [mm]f''(x)\not=0[/mm] und daher ist der Tiefpunkt auch
> > keine
> > > Wendestelle, da ja die Vorraussetzung für eine Wendestelle
> > > f''(x)=0 ist.
> > >
> > > was ich im Kopf hatte war die hinreichende Bedingung
> > > f''(x)=0 [mm]\wedge f'''(x)\not=0[/mm] für die Wendestelle.
> > >
> > >
> > >
> > > nochmal zusammenfassend die vorläufige Lösung des Bsp:
> > >
> > > ich weiß dass f(x):
> > > 1.) keine Nullstellen besitzt
> > > 2.) einen Tiefpunkt an der Stelle
> > > [mm](\frac{-ln(3)}{2},\frac{\sqrt{3}e}{2})[/mm]
> > > 3.) dieser Tiefpunkt keine Wendestelle -> keine
> > > Wendestelle ist vorhanden
> > > 4.) der Extrempunkt ist ein globaler Tiefpunkt der
> > > Funktion
> > > 5.) die Funktion ist von [mm]-\infty[/mm] bis
> [mm]\frac{-ln(3)}{2}[/mm]
> > > monoton fallend und von [mm]\frac{-ln(3)}{2}[/mm] bis [mm]\infty[/mm] monoton
> > > wachsend.
> > > 6.) die Funktion ist nicht Symmetrisch.
> >
> >
> > Siehe oben: Keine Symmetrie zum Ursprung.
> >
> >
> > > 7.) da f''(x) positiv --> Funktion (streng) konvex
> > >
> > > Hab ich was vergessen? Oder Fehler?
> > >
>
> Bis auf die Symmetrie ist ansonsten alles richtig ? :)
>
Ja.
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> > Gruss
> > MathePower
>
> Liebe Grüße
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
Danke, danke, danke, danke,.... DANKE :DDD
ich habs endlich verstanden und geschafft :D
Ihr wart mir eine große Hilfe und habt mir heute sehr viel gelernt :)
Liebe Grüße
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